Groupes d'homotopie des sphèresEn mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie des sphères sont des invariants qui décrivent, en termes algébriques, comment des sphères de dimensions et égales ou différentes peuvent s'enrouler l'une sur l'autre. La notion, définie au départ pour des sphères de dimension 1 (cercles) et de dimension 2, se généralise à des sphères de toutes dimensions (les -sphères).
Monade (théorie des catégories)Une monade est une construction catégorique qui mime formellement le comportement que les monoïdes ont en algèbre. Introduite par Roger Godement sous le nom de « construction standard », la notion est d'abord diffusée sous le nom de triple avant d'être baptisée monade par Jean Bénabou. Elles permettent notamment de formuler des adjonctions et ont (au travers des comonades) un rôle important en géométrie algébrique, notamment en théorie des topos. Elles permettent également de définir les , dont les .
Équivalence de catégoriesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une équivalence de catégories est une relation qui établit que deux catégories sont "essentiellement les mêmes". C'est un foncteur entre les deux catégories, qui prend compte formellement du fait que ces catégories relèvent d'une même structure : on dit alors que les catégories sont équivalentes. À la différence de la notion d'isomorphisme de catégories, la notion d'équivalence est moins rigide, plus pratique et plus courante.
∞-groupoidIn , a branch of mathematics, an ∞-groupoid is an abstract homotopical model for topological spaces. One model uses Kan complexes which are fibrant objects in the category of simplicial sets (with the standard ). It is an generalization of a groupoid, a category in which every morphism is an isomorphism. The homotopy hypothesis states that ∞-groupoids are equivalent to spaces up to homotopy. Alexander Grothendieck suggested in Pursuing Stacks that there should be an extraordinarily simple model of ∞-groupoids using globular sets, originally called hemispherical complexes.
Catégorie des petites catégoriesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des petites catégories, notée Cat, est la catégorie dont les objets sont les petites catégories et dont les morphismes sont les foncteurs entre petites catégories. Cat peut en fait être considérée comme une 2-catégorie, les transformations naturelles servant de 2-morphismes. L'objet initial de Cat est la catégorie vide 0, qui est la catégorie sans objets et sans morphismes. L'objet final est la catégorie finale ou catégorie triviale 1 ayant un seul objet et un seul morphisme.
Théorie de l'homotopie stableEn mathématiques, la théorie de l'homotopie stable est une partie de la théorie de l'homotopie concernée par les structures et tous les phénomènes qui subsistent après suffisamment d'applications du foncteur de suspension. Un résultat fondateur a été le théorème de suspension de Freudenthal, qui stipule que, étant donné tout espace pointé , les groupes d'homotopie se stabilisent pour suffisamment grand. En particulier, les groupes d'homotopie des sphères se stabilisent pour .
Groupe fondamentalEn mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, le groupe fondamental, ou groupe de Poincaré, est un invariant topologique. Le groupe fondamental d'un espace topologique pointé (X, d) est, par définition, l'ensemble des classes d'homotopie de lacets (chemins fermés) de X de base d. C'est un groupe dont la loi de composition interne est induite par la concaténation (juxtaposition) des arcs. L'examen des groupes fondamentaux permet de prouver que deux espaces particuliers ne peuvent être homéomorphes (c'est-à-dire topologiquement équivalents).
Kan fibrationIn mathematics, Kan complexes and Kan fibrations are part of the theory of simplicial sets. Kan fibrations are the fibrations of the standard structure on simplicial sets and are therefore of fundamental importance. Kan complexes are the fibrant objects in this model category. The name is in honor of Daniel Kan. For each n ≥ 0, recall that the , , is the representable simplicial set Applying the geometric realization functor to this simplicial set gives a space homeomorphic to the topological standard -simplex: the convex subspace of Rn+1 consisting of all points such that the coordinates are non-negative and sum to 1.
Catégorie groupoïdeEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories et en topologie algébrique, la notion de groupoïde généralise à la fois les notions de groupe, de relation d'équivalence sur un ensemble, et de l'action d'un groupe sur un ensemble. Elle a été initialement développée par Heinrich Brandt en 1927. Les groupoïdes sont souvent utilisés pour représenter certaines informations sur des objets topologiques ou géométriques comme les variétés. Un groupoïde est une petite catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme.
Théorie des types homotopiquesvignette| Couverture de la Théorie des types homotopiques : Fondations univalentes des mathématiques. Dans la logique mathématique et de l’informatique, la théorie des types homotopiques (en anglais : Homotopy Type Theory HoTT) fait référence à différentes lignes de développement de la théorie des types intuitionnistes, basée sur l’interprétation des types comme des objets auxquels l’intuition de la théorie de l’homotopie s’applique.
