Anneau localEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné. Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes : A est local ; ses éléments non inversibles forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A et coïncidera avec son radical de Jacobson) ; ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible à gauche ; il existe un idéal maximal M tel que pour tout élément a de M, 1 + a est inversible.
Injective hullIn mathematics, particularly in algebra, the injective hull (or injective envelope) of a module is both the smallest injective module containing it and the largest essential extension of it. Injective hulls were first described in . A module E is called the injective hull of a module M, if E is an essential extension of M, and E is injective. Here, the base ring is a ring with unity, though possibly non-commutative. An injective module is its own injective hull. The injective hull of an integral domain is its field of fractions .
Anneau commutatifUn anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents.
Algèbre commutativevignette|Propriété universelle du produit tensoriel de deux anneaux commutatifs En algèbre générale, l’algèbre commutative est la branche des mathématiques qui étudie les anneaux commutatifs, leurs idéaux, les modules et les algèbres. Elle est fondamentale pour la géométrie algébrique et pour la théorie algébrique des nombres. David Hilbert est considéré comme le véritable fondateur de cette discipline appelée initialement la « théorie des idéaux ».
Module injectifEn mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre homologique, un module injectif est un module Q (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme injectif f : X → Y entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : X → Q, il existe un morphisme h : Y → Q tel que hf = g, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute : center Autrement dit : Q est injectif si pour tout module Y, tout morphisme d'un sous-module de Y vers Q s'étend à Y.
Anneau noethérienEn mathématique, un anneau noethérien est un cas particulier d'anneau, c'est-à-dire d'un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication compatible avec l'addition, au sens de la distributivité. De nombreuses questions mathématiques s'expriment dans un contexte d'anneau, les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module sur un anneau, les entiers algébriques de la théorie algébrique des nombres, ou encore les surfaces de la géométrie algébrique.
NoethérienEn mathématiques, l'adjectif « noethérien » est utilisé pour décrire des objets vérifiant la condition de chaîne ascendante ou descendante sur un certain type de sous-objets ; en particulier : un groupe qui vérifie la condition de chaîne ascendante sur les sous-groupes ; Anneau noethérien, un anneau qui vérifie la condition de chaîne ascendante sur les idéaux ; Module noethérien, un module qui vérifie la condition de chaîne ascendante sur les sous-modules ; Espace noethérien, un espace topologique qui vérif
Resolution (algebra)In mathematics, and more specifically in homological algebra, a resolution (or left resolution; dually a coresolution or right resolution) is an exact sequence of modules (or, more generally, of s of an ), which is used to define invariants characterizing the structure of a specific module or object of this category. When, as usually, arrows are oriented to the right, the sequence is supposed to be infinite to the left for (left) resolutions, and to the right for right resolutions.
Idéal premierEn algèbre commutative, un idéal premier d'un anneau commutatif unitaire est un idéal tel que le quotient de l'anneau par cet idéal est un anneau intègre. Ce concept généralise la notion de nombre premier à des anneaux à la structure moins simple d'accès que l'anneau des entiers relatifs. Ils jouent un rôle particulièrement important en théorie algébrique des nombres. thumb|Richard Dedekind (1831-1916), formalisateur du concept d'idéal.
IdéalEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, un idéal est un sous-ensemble remarquable d'un anneau : c'est un sous-groupe du groupe additif de l'anneau qui est, de plus, stable par multiplication par les éléments de l'anneau. À certains égards, les idéaux s'apparentent donc aux sous-espaces vectoriels — qui sont des sous-groupes additifs stables par une multiplication externe ; à d'autres égards, ils se comportent comme les sous-groupes distingués — ce sont des sous-groupes additifs à partir desquels on peut construire une structure d'anneau quotient.
