Évariste GaloisÉvariste Galois est un mathématicien français, né le à Bourg-Égalité (aujourd’hui Bourg-la-Reine) et mort le à Paris. Son nom a été donné à une branche des mathématiques dont il a posé les prémices, la théorie de Galois. Il est un précurseur dans la mise en évidence de la notion de groupe et un des premiers à expliciter la correspondance entre symétries et invariants. Sa « théorie de l'ambiguïté » est toujours féconde au .
Anneau local régulierEn mathématiques, les anneaux réguliers forment une classe d'anneaux très utile en géométrie algébrique. Ce sont des anneaux qui localement sont les plus proches possibles des anneaux de polynômes sur un corps. Soit un anneau local noethérien d'idéal maximal . Soit son espace tangent de Zariski qui est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps résiduel . Cette dimension est minorée par la dimension de Krull de l'anneau . On dit que est régulier s'il y a égalité entre ces deux dimensions : Par le lemme de Nakayama, cela équivaut à dire que est engendré par éléments.
Idéal fractionnairevignette|Richard Dedekind donne en 1876 la définition d'idéal fractionnaire. En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal fractionnaire est une généralisation de la définition d'un idéal. Ce concept doit son origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre certaines équations diophantiennes, cette théorie utilise des anneaux d'entiers généralisant celui des entiers relatifs.
Triplet premierEn théorie des nombres, un triplet premier est une suite de trois nombres premiers consécutifs telle que l'écart entre le plus petit et le plus grand soit de 6, ce qui est le plus petit écart possible pour une telle suite, à l'exception des triplets (2,3,5) et (3,5,7). Un triplet premier est nécessairement de la forme (p, p + 2, p + 6) ou (p, p + 4, p + 6). Une conjecture, renforçant celle des nombres premiers jumeaux, est l'existence d'une infinité de triplets de chacune des deux formes.
Nombre de Mersenne premiervignette|droite|Le moine français Marin Mersenne (1588-1648) En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un nombre de Mersenne est un nombre de la forme 2 − 1 (souvent noté ), où est un entier naturel non nul ; un nombre de Mersenne premier (ou nombre premier de Mersenne) est donc un nombre premier de cette forme. Ces nombres doivent leur nom au religieux érudit et mathématicien français du Marin Mersenne ; mais, près de auparavant, Euclide les utilisait déjà pour étudier les nombres parfaits.
Théorème de l'idéal principalEn mathématiques, le théorème de l'idéal principal en théorie des corps de classes, assure que tout idéal de l'anneau des entiers d'un corps de nombres K, vu comme idéal de l'anneau des entiers du corps de classes de Hilbert de K, est principal. Plus précisément : les extensions abéliennes, et les extensions non ramifiées, sont stables par compositum. Il existe donc une extension abélienne non ramifiée maximale L de K, appelée le corps de classes de Hilbert de K ; pour tout idéal I de l'anneau OK des entiers de K, l'idéal IOL de OL est principal.
P-groupeEn mathématiques, et plus précisément en algèbre, un p-groupe, pour un nombre premier p donné, est un groupe (fini ou infini) dont tout élément a pour ordre une puissance de p. Les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini sont un exemple important de p-groupes. Tout sous-groupe et tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe. Réciproquement, si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe. On peut tirer du point précédent qu'un produit semi-direct de deux p-groupes est un p-groupe.
Norme d'idéalEn algèbre commutative, la norme d'un idéal est une généralisation de la notion de norme d'un élément dans une extension de corps. Il est particulièrement important en théorie des nombres puisqu'il mesure la taille d'un idéal d'un anneau d'entiers R a priori compliqué en fonction d'un idéal dans un anneau plus simple. Lorsque l'anneau plus simple est Z, la norme d'un idéal non nul I de R est simplement le cardinal de l'anneau quotient fini R/I. Soit A un anneau de Dedekind, K son corps des fractions et B sa fermeture intégrale dans une extension finie séparable L de K.
Idéal principalEn mathématiques, plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un idéal principal est un idéal engendré par un seul élément. Soit A un anneau. Un idéal à droite I est dit principal à droite s'il est égal à l'idéal à droite engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = aA := { ax | x ∈ A }. Un idéal à gauche I est dit principal à gauche s'il est égal à l'idéal à gauche engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = Aa := { xa | x ∈ A }.
Extension de GaloisEn mathématiques, une extension de Galois (parfois nommée extension galoisienne) est une extension normale séparable. L'ensemble des automorphismes de l'extension possède une structure de groupe appelée groupe de Galois. Cette structure de groupe caractérise l'extension, ainsi que ses sous-corps. Les extensions de Galois sont des structures largement utilisées pour la démonstration de théorèmes en théorie algébrique des nombres, comme le dernier théorème de Fermat, ou en théorie de Galois pure, comme le théorème d'Abel-Ruffini.
