Champ de vecteursthumb|Un exemple de champ de vecteurs, de la forme (-y,x). thumb|Autre exemple. thumb|Le flux d'air autour d'un avion est un champ tridimensionnel (champ des vitesses des particules d'air), ici visualisé par les bulles qui matérialisent les lignes de courant. En mathématiques, un champ de vecteurs ou champ vectoriel est une fonction qui associe un vecteur à chaque point d'un espace euclidien ou plus généralement d'une variété différentielle.
Groupe ponctuel de symétrieEn géométrie, un groupe ponctuel de symétrie est un sous-groupe d'un groupe orthogonal : il est composé d'isométries, c'est-à-dire d'applications linéaires laissant invariants les distances et les angles. Le groupe ponctuel de symétrie d'une molécule est constitué des isométries qui laissent la molécule, en tant que forme géométrique, invariante. thumb|Figure 1 : exemple de rotation En cristallographie, un groupe ponctuel contient les opérations de symétrie qui laissent invariants la morphologie d’un cristal et ses propriétés physiques (la symétrie de la structure atomique d’un cristal est décrite par les groupes d’espace).
Espace vectorielvignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.
Analyse vectorielleL'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien à valeurs respectivement dans et dans . Du point de vue du mathématicien, l'analyse vectorielle est donc une branche de la géométrie différentielle. Cette dernière inclut l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissants et une analyse plus concise entre autres des champs de vecteurs.
Champ conservatifUn champ de vecteurs est dit à circulation conservative (ou irrotationnel) si sa circulation sur toute courbe fermée est nulle (son rotationnel est alors nul, et réciproquement). Sous certaines conditions relatives au domaine de définition et à la régularité du champ, on peut dériver le potentiel de ce champ, fonction scalaire qui en permet une représentation alternative. De même, un champ de vecteurs est dit à flux conservatif si son flux sur toute surface fermée est nul (sa divergence est alors nulle, et réciproquement).
Point groups in three dimensionsIn geometry, a point group in three dimensions is an isometry group in three dimensions that leaves the origin fixed, or correspondingly, an isometry group of a sphere. It is a subgroup of the orthogonal group O(3), the group of all isometries that leave the origin fixed, or correspondingly, the group of orthogonal matrices. O(3) itself is a subgroup of the Euclidean group E(3) of all isometries. Symmetry groups of geometric objects are isometry groups. Accordingly, analysis of isometry groups is analysis of possible symmetries.
Symétrie centralethumb|upright=0.7|Symétrie centrale plane dans une carte à jouer : sur la carte figure le roi de cœur et son symétrique par rapport au centre de cette dernière. En géométrie, une symétrie centrale est une transformation d'un espace affine. Elle se réalise à partir d'un point fixe noté Ω appelé centre de symétrie. Elle transforme tout point M en un point M' tel que le point Ω soit le milieu du segment [MM']. En termes de vecteurs, cela se traduit par : Comme toute symétrie, c'est une involution, c'est-à-dire qu'on retrouve le point ou la figure de départ si on l'applique deux fois.
Brisure spontanée de symétrieEn physique, le terme brisure spontanée de symétrie (BSS) renvoie au fait que, sous certaines conditions, certaines propriétés de la matière ne semblent pas respecter les équations décrivant le mouvement des particules (on dit qu'elles n'ont pas les mêmes symétries). Cette incohérence n'est qu'apparente et signifie simplement que les équations présentent une approximation à améliorer. Cette notion joue un rôle important en physique des particules et en physique de la matière condensée.
Point groups in four dimensionsIn geometry, a point group in four dimensions is an isometry group in four dimensions that leaves the origin fixed, or correspondingly, an isometry group of a 3-sphere. 1889 Édouard Goursat, Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Sér. 3, 6, (pp. 9–102, pp. 80–81 tetrahedra), Goursat tetrahedron 1951, A. C. Hurley, Finite rotation groups and crystal classes in four dimensions, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol.
Point groups in two dimensionsIn geometry, a two-dimensional point group or rosette group is a group of geometric symmetries (isometries) that keep at least one point fixed in a plane. Every such group is a subgroup of the orthogonal group O(2), including O(2) itself. Its elements are rotations and reflections, and every such group containing only rotations is a subgroup of the special orthogonal group SO(2), including SO(2) itself. That group is isomorphic to R/Z and the first unitary group, U(1), a group also known as the circle group.
