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Concept
Union-find
Résumé
thumb|Partition avec 8 classes (qui sont des singletons) obtenue avec MakeSet(1), ..., MakeSet(8).|255x255px
thumb|Partition avec 3 classes disjointes obtenue après Union(1, 2), Union(3, 4), Union(2, 5), Union(1, 6) et Union(2, 8).|255x255px
En informatique, union-find est une structure de données qui représente une partition d'un ensemble fini (ou de manière équivalente une relation d'équivalence).
Elle a essentiellement deux opérations trouver et unir et est appelée union-find, suivant en cela la terminologie anglo-saxonne :
Find (trouver) : détermine la classe d'équivalence d'un élément ; elle sert ainsi à déterminer si deux éléments appartiennent à la même classe d'équivalence ;
Union (unir) : réunit deux classes d'équivalence en une seule.
Une autre opération importante, MakeSet, construit une classe d'équivalence contenant un seul élément, autrement dit un singleton.
Afin de définir ces opérations plus précisément, il faut choisir un moyen de représenter les classes. L'approche traditionnelle consiste à sélectionner un élément particulier de chaque classe, appelé le représentant, pour identifier la classe entière.
Lors d'un appel, Find(x) retourne le représentant de la classe de x.
La solution la plus immédiate pour le problème des classes disjointes consiste à construire une liste chaînée pour chaque classe.
On choisit alors l'élément en tête de liste comme représentant.
MakeSet crée une liste contenant un élément. Union concatène les deux listes, une opération en temps constant.
Malheureusement, l'opération Find nécessite alors un temps Ω(n) avec cette approche.
On peut y remédier en ajoutant à chaque élément d'une liste chaînée un pointeur vers la tête de la liste ; Find est alors réalisée en temps constant (le représentant étant la tête de la liste). Cependant, on a détérioré l'efficacité de Union, qui doit maintenant parcourir tous les éléments d'une des deux listes pour les faire pointer vers la tête de l'autre liste, ce qui nécessite un temps Ω(n).
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Concepts associés (5)
Connectivity (graph theory)
In mathematics and computer science, connectivity is one of the basic concepts of graph theory: it asks for the minimum number of elements (nodes or edges) that need to be removed to separate the remaining nodes into two or more isolated subgraphs. It is closely related to the theory of network flow problems. The connectivity of a graph is an important measure of its resilience as a network. In an undirected graph G, two vertices u and v are called connected if G contains a path from u to v.
Partition d'un ensemble
vignette|Les 52 partitions d'un ensemble à 5 éléments. Les points noirs représentent les éléments de l'ensemble. Une région colorée correspond à un bloc de la partition qui regroupe plusieurs points noirs. Un point noir isolé signifie que cet élément appartient à un bloc qui est un singleton. En mathématiques, une partition d'un ensemble X est un ensemble de parties non vides de X deux à deux disjointes et dont l'union est X. Soit un ensemble X.
Arbre couvrant de poids minimal
thumb|L'arbre couvrant de poids minimal d'un graphe planaire. Chaque arête est identifiée avec son poids qui, ici, est approximativement sa longueur. En théorie des graphes, étant donné un graphe non orienté connexe dont les arêtes sont pondérées, un arbre couvrant de poids minimal (ACM), arbre couvrant minimum ou arbre sous-tendant minimum de ce graphe est un arbre couvrant (sous-ensemble qui est un arbre et qui connecte tous les sommets ensemble) dont la somme des poids des arêtes est minimale (c'est-à-dire de poids inférieur ou égal à celui de tous les autres arbres couvrants du graphe).