vignette|Schéma heuristique des structures algébriques.
Les anneaux principaux forment un type d'anneaux commutatifs important dans la théorie mathématique de la divisibilité (voir aussi l'article anneau principal non commutatif). Ce sont des anneaux intègres auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique.
Un anneau A est dit commutatif lorsque, pour tous éléments a et b de A, . Il est dit intègre lorsqu'il est commutatif, a au moins deux éléments et vérifie la condition suivante : pour tous éléments a et b de A tels que ab soit nul, un au moins des éléments a et b est nul. Cette propriété a pour conséquence que tout élément non nul de A est simplifiable, c'est-à-dire que si a est un élément non nul de A, si b et c sont deux éléments de A tels que (resp. ), alors b est égal à c. La simplification utilisée pour les calculs sur les nombres entiers, rationnels, réels ou complexe est donc toujours valable. Dans toute la suite de l'article, A désigne un anneau intègre.
Un idéal J est un sous-groupe additif de A stable par multiplication par n'importe quel élément a de A, ainsi si j est élément de J, aj l'est aussi, ou encore aJ est inclus dans J.
Un idéal J de l'anneau A est dit principal s'il est composé des multiples d'un élément donné de l'anneau, autrement dit s'il existe un élément a de A tel que J est égal à aA.
Un anneau est dit quasi-principal si tous ses idéaux sont principaux ; il est dit principal s'il est quasi-principal et intègre.
Corps commutatif
Tout corps commutatif K est un anneau trivialement principal. En effet, ses deux seuls idéaux sont {0} (engendré par 0) et K (engendré par 1).
Anneau euclidien
Un anneau euclidien est un anneau disposant d'une division euclidienne. Un tel anneau est toujours principal (cf. l'article détaillé). Des exemples de cette nature sont donnés par l'anneau Z des entiers relatifs ou encore l'anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps K, par exemple celui des rationnels, des réels ou des complexes.
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Ce cours commence par un rappel de la théorie de Galois vue en 2ème année : les extensions de corps et la correspondance de Galois.
Ensuite, on présente les applications et approfondissements.
vignette|Statue d'Euclide à Oxford. En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif intègre (voir aussi l'article anneau euclidien non commutatif). Un anneau est dit euclidien s'il est possible d'y définir une division euclidienne. Un anneau euclidien est toujours principal. Cette propriété est riche de conséquences : tout anneau principal vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, il est factoriel et satisfait les conditions du théorème fondamental de l'arithmétique.
vignette|Schéma heuristique des structures algébriques. Les anneaux principaux forment un type d'anneaux commutatifs important dans la théorie mathématique de la divisibilité (voir aussi l'article anneau principal non commutatif). Ce sont des anneaux intègres auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique. Un anneau A est dit commutatif lorsque, pour tous éléments a et b de A, .
Un anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents.
Proposition d'interventions précises pour coordonner le développement de la ville vers l'ouest. Choix de l'élément principal (halle de foire) et développement de cet objet jusqu'au détail.
1999
Let K be a field with char(K) ≠ 2. The Witt-Grothendieck ring (K) and the Witt ring W (K) of K are both quotients of the group ring ℤ[𝓖(K)], where 𝓖(K) := K*/(K*)2 is the square