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Concept
Médiane (géométrie)
Résumé
Dans son sens le plus courant, une médiane désigne, dans un triangle, une droite joignant un des trois sommets du triangle au milieu du côté opposé.
Par extension, en géométrie plane, les médianes d'un quadrilatère sont les segments reliant les milieux de deux côtés opposés.
Enfin, en géométrie dans l'espace, les médianes d'un tétraèdre sont les droites passant par un sommet du tétraèdre et par l'isobarycentre des trois autres.
Dans un triangle ABC, la médiane issue du sommet A est la droite (AI) où I désigne le milieu du segment [BC]. Le terme médiane désigne parfois le segment [AI] plutôt que la droite (AI).
Chaque médiane sépare le triangle ABC en deux triangles d'aires égales : l'aire du triangle ABI est égale à l'aire du triangle ACI.
Dans le triangle ABC, si I est le milieu de [BC] alors Cette égalité est une conséquence immédiate de la définition de I comme isobarycentre de B et C (voir le § « Réduction » de l'article sur le barycentre).
Le « premier théorème de la médiane » affirme que
Il fut énoncé par Apollonius de Perga et par Thalès.
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est l'isobarycentre des trois sommets, souvent appelé « centre de gravité du triangle ». Il est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant.
Cet isobarycentre G vérifie la relation vectorielle :
Il existe une autre démonstration, n'utilisant aucune connaissance vectorielle.
Chaque médiane d'un triangle, issue d'un sommet (A par exemple) forme avec les deux côtés adjacents du triangle et la parallèle passant par A au côté opposé un faisceau harmonique
Les deux droites reliant un sommet au milieu de chaque médiane issue des deux autres sommets, coupent le côté opposé en trois parts égales.
La plus grande ellipse inscrite dans un triangle (ellipse de Steiner) est tangente aux côtés du triangle aux pieds des médianes.
Dans tout triangle, la somme des carrés des longueurs des trois médianes , et est égale aux trois quarts de la somme des carrés des côtés :
avec a=BC, b=AC et c=AB.
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