Interprétation (logique)En logique, une interprétation est une attribution de sens aux symboles d'un langage formel. Les langages formels utilisés en mathématiques, en logique et en informatique théorique ne sont définis dans un premier temps que syntaxiquement ; pour en donner une définition complète, il faut expliquer comment ils fonctionnent et en donner une interprétation. Le domaine de la logique qui donne une interprétation aux langages formels s'appelle la sémantique formelle.
Complétude (logique)En logique mathématique et métalogique, un système formel est dit complet par rapport à une propriété particulière si chaque formule possédant cette propriété peut être prouvée par une démonstration formelle à l'aide de ce système, c'est-à-dire par l'un de ses théorèmes ; autrement, le système est dit incomplet. Le terme « complet » est également utilisé sans qualification, avec des significations différentes selon le contexte, la plupart du temps se référant à la propriété de la validité sémantique.
Théorie axiomatiqueQuand on parle de théorie mathématique, on fait référence à une somme d'énoncés, de définitions, de méthodes de preuve, etc. La théorie de la calculabilité en est un exemple. Par théorie axiomatique, on fait référence à quelque chose de plus précis, des axiomes et leurs conséquences, les théorèmes, énoncés dans un langage précis. Dans la suite on dira le plus souvent théorie pour théorie axiomatique, ce qui est d'usage courant en logique mathématique.
Calcul des séquentsEn logique mathématique et plus précisément en théorie de la démonstration, le calcul des séquents est un système de déduction créé par Gerhard Gentzen. Le nom de ce formalisme fait référence à un style particulier de déduction ; le système original a été adapté à diverses logiques, telles que la logique classique, la logique intuitionniste et la logique linéaire. Un séquent est une suite d'hypothèses suivie d'une suite de conclusions, les deux suites étant usuellement séparées par le symbole (taquet droit), « : » (deux-points) ou encore (flèche droite) dans l'œuvre originale de Gentzen.
Système axiomatiqueEn mathématiques, un système axiomatique est un ensemble d'axiomes dont certains ou tous les axiomes peuvent être utilisés logiquement pour dériver des théorèmes. Une théorie consiste en un système axiomatique et tous ses théorèmes dérivés. Un système axiomatique complet est un type particulier de système formel. Une théorie formelle signifie généralement un système axiomatique, par exemple formulé dans la théorie des modèles. Une démonstration formelle est une interprétation complète d'une démonstration mathématique dans un système formel.
Proof calculusIn mathematical logic, a proof calculus or a proof system is built to prove statements. A proof system includes the components: Language: The set L of formulas admitted by the system, for example, propositional logic or first-order logic. Rules of inference: List of rules that can be employed to prove theorems from axioms and theorems. Axioms: Formulas in L assumed to be valid. All theorems are derived from axioms. Usually a given proof calculus encompasses more than a single particular formal system, since many proof calculi are under-determined and can be used for radically different logics.
Taquet (symbole)En logique mathématique et en informatique le symbole taquet, « ⊢ », désigné ainsi en raison de sa ressemblance au système de blocage des voiles sur un bateau, représente la déduction logique. La formule « x ⊢ y » signifie « y est déductible de x », c'est-à-dire que y est prouvable à partir de x. On peut aussi employer le taquet comme un opérateur unaire : peut être lu comme : Je sais que A est vrai.
