Arête (géométrie)

En géométrie dans l'espace, une arête est une droite délimitant deux demi-plans qui constituent les faces d’un angle diédral, ou plus spécialement le côté d’une face d’un polyèdre. Plus généralement, une arête d'un solide géométrique est la ligne d'intersection de deux surfaces de ce solide. À ce titre, l'arête n'est pas nécessairement une droite euclidienne. Un angle formé par deux demi-droites perpendiculaires à l’arête, issues d'un point de l’arête et incluses dans chacune des faces d’un dièdre, ne dépend pas du choix du point. Dans le cas d'un polyèdre convexe, le nombre d’arêtes est relié au nombre de faces et au nombre de sommets par le théorème de Descartes-Euler. Par exemple, le cube comporte , et , ce qui satisfait la relation : vignette|Représentation schématisée des défauts de surface : les ondulations correspondent à des rayures de fraisage. L'arête cumule les défauts des deux surfaces. Dans le cas d'un solide réel, l'arête n'est pas nécessairement un segment de droite mais peut être une courbe. Une arête est un lieu où la surface n'est pas dérivable. Contrairement aux arêtes idéales de la géométrie, les arêtes des solides réels ont des défauts : les défauts des deux surfaces se cumulent à leur intersection, donc à l'arête. Ainsi la droite n'est pas parfaitement rectiligne et l'arc de cercle n'est pas parfaitement circulaire (défaut de forme) ; mais aussi et surtout, le raccordement réel entre deux surfaces est progressif ; par exemple, le raccordement entre deux plans est en général une portion de cylindre ayant un rayon non nul. vignette|Fraise cylindrique deux tailles : les arêtes en bout d'outil servent à couper le métal. En génie mécanique, une pièce est conçue, dessinée puis fabriquée pour remplir des fonctions. Ces fonctions sont en général assurées par ses surfaces ou par ses arêtes. Les arêtes fonctionnelles (qui assurent une fonction) sont en général des arêtes de coupe. La pièce est donc un outil fait d'un matériau dur (céramique, acier rapide), et il s'agit d'une arête sortante, saillante.