Morphisme de groupes

Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que et l'on en déduit alors que f(e) = e (où e et e désignent les neutres respectifs de G et G) et ∀x ∈ G f(x) = [f(x)]. donc ; en composant par l'inverse de , on obtient (autrement dit, un morphisme de groupes conserve l'idempotence, et l'élément neutre d'un groupe est son unique élément idempotent). donc ; ainsi et sont inverses l'un de l'autre. Ces démonstrations s'appliquent dans un contexte plus général : voir les § « Morphisme de monoïdes » et « Symétrique d'un élément » de l'article sur les monoïdes. Un morphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé un endomorphisme de G. On dit que est un isomorphisme de groupes si est un morphisme bijectif. Dans ce cas, est aussi un isomorphisme de groupes. Si de plus , autrement dit si l'isomorphisme est un endomorphisme, on dit que est un automorphisme du groupe . Un morphisme de groupes transporte la loi de groupe, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des groupes sous l'effet des morphismes. Le morphisme zéro de G dans G est l'application constante x ↦ e. La fonction exponentielle complexe , vérifie :C'est donc un morphisme de groupes de (C, +) dans (C*, ×) et — par restriction — de (R, +) dans (R*, ×). Soit un morphisme de groupes. Alors : l' de tout sous-groupe de est un sous-groupe de , et si de plus est normal dans alors est normal dans . l' de tout sous-groupe de est un sous-groupe de , et si de plus est normal dans alors est normal dans (donc dans si est surjectif). Comme pour toute application, l' d'un morphisme de groupes est définie par : et est surjectif si et seulement si son image est égale à . Le noyau (Kern en allemand, kernel en anglais) est plus spécifique aux morphismes.