En mathématiques, un espace séparé, dit aussi espace de Hausdorff, est un espace topologique dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints. Cette condition est aussi appelée axiome T2 au sein des axiomes de séparation.
L'appellation fait référence à Felix Hausdorff, mathématicien allemand et l'un des fondateurs de la topologie, qui avait inclus cette condition dans sa définition originale d'espace topologique.
Cette propriété de séparation équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent (ou ce qui revient au même : de toute suite généralisée convergente).
Tout espace métrique est séparé. En effet, deux points situés à une distance L l'un de l'autre admettent comme voisinages disjoints les boules de rayon L/3 centrées sur chacun d'eux.
Tout espace discret est séparé, chaque singleton constituant un voisinage de son élément. En particulier, un espace discret non dénombrable est séparé et non séparable.
La topologie de l'ordre associée à un ordre total est séparée.
Des exemples d'espaces non séparés sont donnés par :
tout ensemble ayant au moins deux éléments et muni de la topologie grossière (toujours séparable) ;
tout ensemble infini muni de la topologie cofinie (qui pourtant satisfait l'axiome T1 d'espace accessible) ;
certains spectres d'anneau munis de la topologie de Zariski.
Dans un espace séparé, tout singleton est fermé. Autrement dit : tout espace T est T.
Pour toute fonction f à valeurs dans un espace séparé et tout point a adhérent au domaine de définition de f, la limite de f en a, si elle existe, est unique. Cette propriété équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent (ou de toute suite généralisée convergente) à valeurs dans cet espace.
En particulier, la limite d'une suite à valeurs dans un espace séparé, si elle existe, est unique.
Deux applications continues à valeurs dans un séparé qui coïncident sur une partie dense sont égales.
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un cadre général pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage. Les espaces topologiques forment le socle conceptuel permettant de définir ces notions. Elles sont suffisamment générales pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes : ensembles finis, ensembles discrets, espaces de la géométrie euclidienne, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels plus complexes, mais aussi en géométrie algébrique.
En mathématiques, un espace séparé, dit aussi espace de Hausdorff, est un espace topologique dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints. Cette condition est aussi appelée axiome T2 au sein des axiomes de séparation. L'appellation fait référence à Felix Hausdorff, mathématicien allemand et l'un des fondateurs de la topologie, qui avait inclus cette condition dans sa définition originale d'espace topologique.
En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le théorème des bornes généralisé ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact.
Discute des actions de groupe, des quotients et des homomorphismes, en mettant l'accent sur les implications pratiques pour divers groupes et la construction d'espaces projectifs complexes.
In metric spaces a distance is defined between each pair of points. In topological spaces, distances are replaced by only a certain notion of nearness. This abstract setting sheds new light upon basic
This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex