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Concept
Espace séparé
Résumé
En mathématiques, un espace séparé, dit aussi espace de Hausdorff, est un espace topologique dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints. Cette condition est aussi appelée axiome T2 au sein des axiomes de séparation.
L'appellation fait référence à Felix Hausdorff, mathématicien allemand et l'un des fondateurs de la topologie, qui avait inclus cette condition dans sa définition originale d'espace topologique.
Cette propriété de séparation équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent (ou ce qui revient au même : de toute suite généralisée convergente).
Tout espace métrique est séparé. En effet, deux points situés à une distance L l'un de l'autre admettent comme voisinages disjoints les boules de rayon L/3 centrées sur chacun d'eux.
Tout espace discret est séparé, chaque singleton constituant un voisinage de son élément. En particulier, un espace discret non dénombrable est séparé et non séparable.
La topologie de l'ordre associée à un ordre total est séparée.
Des exemples d'espaces non séparés sont donnés par :
tout ensemble ayant au moins deux éléments et muni de la topologie grossière (toujours séparable) ;
tout ensemble infini muni de la topologie cofinie (qui pourtant satisfait l'axiome T1 d'espace accessible) ;
certains spectres d'anneau munis de la topologie de Zariski.
Dans un espace séparé, tout singleton est fermé. Autrement dit : tout espace T est T.
Pour toute fonction f à valeurs dans un espace séparé et tout point a adhérent au domaine de définition de f, la limite de f en a, si elle existe, est unique. Cette propriété équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent (ou de toute suite généralisée convergente) à valeurs dans cet espace.
En particulier, la limite d'une suite à valeurs dans un espace séparé, si elle existe, est unique.
Deux applications continues à valeurs dans un séparé qui coïncident sur une partie dense sont égales.
Source officielle
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