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Concept
Compacité (mathématiques)
Résumé
En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le théorème des bornes généralisé ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact.
Plusieurs propriétés des segments de la droite réelle R se généralisent aux espaces compacts, ce qui confère à ces derniers un rôle privilégié dans divers domaines des mathématiques. Notamment, ils sont utiles pour prouver l'existence d'extrema pour une fonction numérique.
Le nom de cette propriété rend hommage aux mathématiciens français Émile Borel et Henri Lebesgue, car le théorème qui porte leur nom établit que tout segment de R est compact et, plus généralement, que les compacts de R sont les fermés bornés.
Une approche plus intuitive de la compacité dans le cas particulier des espaces métriques est détaillée dans l'article « Compacité séquentielle ».
Définition préalable : Soit un ensemble et une partie de . On dit qu'une famille de parties de recouvre si sa réunion contient .
Propriété de Borel-Lebesgue pour les segments : soit un segment de la droite réelle. De tout recouvrement ouvert de ce segment, on peut extraire un sous-recouvrement fini. C'est-à-dire que pour toute famille d'ensembles ouverts recouvrant , il existe une partie finie de telle que la sous-famille recouvre déjà .
Pour une démonstration de cette propriété voir le théorème de Borel-Lebesgue, aussi appelé théorème de Heine-Borel.
La propriété de Borel-Lebesgue est étroitement liée à une propriété des suites bornées de réels : de toute suite bornée de réels, on peut extraire une suite convergente. Le lien entre les deux propriétés est explicité plus bas (dans la section « Théorème de Bolzano-Weierstrass et compacité séquentielle »).
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