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Concept
Homéomorphisme
Résumé
En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.
La notion d'homéomorphisme est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont « le même » vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques.
Soit et des espaces topologiques, une application bijective de sur . Les conditions suivantes sont équivalentes :
et sont continues ;
pour qu'une partie de soit ouverte, il faut et il suffit que son image dans soit ouverte.
Une bijection continue est un homéomorphisme si et seulement si elle est ouverte ou fermée (elle est alors les deux).
Soient K un espace topologique compact, E un espace topologique séparé, et f : K → E une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme. En particulier, E est un compact.
Une bijection continue n'est pas toujours un homéomorphisme (voir l'article Comparaison de topologies). Par exemple, l'applicationest une bijection continue mais sa réciproque n'est pas continue en (1, 0). En fait, il n'existe aucun homéomorphisme entre le cercle S et une partie de R (par des arguments de connexité ou de simple connexité).
Une application f : X → Y est un si tout point de X appartient à un ouvert V tel que f(V) soit ouvert dans Y et que f donne, par restriction, un homéomorphisme de V sur f(V). Une telle application est continue et ouverte.
Exemples
Tout revêtement est un homéomorphisme local.
Pour tout ouvert X de Y, l'inclusion X → Y est un homéomorphisme local.
Toute composée X → Z d'homéomorphismes locaux X → Y et Y → Z est un homéomorphisme local.
Toute réunion disjointe ∐X → Y d'homéomorphismes locaux X → Y est un homéomorphisme local.
(Cf. la « droite réelle avec un point double ».)
Tout difféomorphisme local d'une variété dans une autre est un homéomorphisme local.
Une propriété topologique est une propriété qui est invariante par homéomorphismes.
Source officielle
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