Revêtement (mathématiques)

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et en topologie algébrique, un revêtement d'un espace topologique B par un espace topologique E est une application continue et surjective p : E → B telle que tout point de B appartienne à un ouvert U tel que l' de U par p soit une union disjointe d'ouverts de E, chacun homéomorphe à U par p. Il s'agit donc d'un fibré à fibres discrètes. Les revêtements jouent un rôle pour calculer le groupe fondamental et les groupes d'homotopie d'un espace. Un résultat de la théorie des revêtements est que si B est connexe par arcs et localement simplement connexe, il y a une correspondance bijective entre les revêtements connexes par arcs de B, à isomorphisme près, et les sous-groupes du groupe fondamental de B. Soient X et B deux espaces topologiques. Un homéomorphisme local est une application π : X → B, appelée projection, telle que pour tout point x de X, il existe un ouvert U de X contenant x et un ouvert V de B tels que la restriction de π à U soit un homéomorphisme sur V. Un espace X muni d'un homéomorphisme local π : X → B est dit étalé au-dessus de B. L'espace d'arrivée B de la projection est appelé la base de l'homéomorphisme local. Pour tout point b ∈ B, on appelle fibre de X au-dessus du point b et l'on note X(b) le sous espace π(b) ⊂ X. On appelle section (continue) de π, ou de X, au-dessus de B, une application continue σ : B → X telle que π ∘ σ = Id. Un revêtement d'un espace topologique B est un espace X, muni d'un homéomorphisme local π : X → B surjectif, tel que pour tout point b de B, il existe un ouvert V contenant b, un espace discret F et un homéomorphisme Φ : π(V) → V×F qui commute avec les projections sur l'espace B, c'est-à-dire que si Φ(x) = (c, f) alors π(x) = c. Autrement dit : un revêtement est un fibré à fibres discrètes, avec la remarque que si la base B n'est pas connexe, la fibre F dépend du point base b et s'identifie à la fibre π(b). Plus simplement : π : X → B est un revêtement si tout point de B appartient à un ouvert V tel que π(V) soit une réunion disjointe d'ouverts appliqués homéomorphiquement par π sur V.