En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et en topologie algébrique, un revêtement d'un espace topologique B par un espace topologique E est une application continue et surjective p : E → B telle que tout point de B appartienne à un ouvert U tel que l' de U par p soit une union disjointe d'ouverts de E, chacun homéomorphe à U par p. Il s'agit donc d'un fibré à fibres discrètes. Les revêtements jouent un rôle pour calculer le groupe fondamental et les groupes d'homotopie d'un espace. Un résultat de la théorie des revêtements est que si B est connexe par arcs et localement simplement connexe, il y a une correspondance bijective entre les revêtements connexes par arcs de B, à isomorphisme près, et les sous-groupes du groupe fondamental de B. Soient X et B deux espaces topologiques. Un homéomorphisme local est une application π : X → B, appelée projection, telle que pour tout point x de X, il existe un ouvert U de X contenant x et un ouvert V de B tels que la restriction de π à U soit un homéomorphisme sur V. Un espace X muni d'un homéomorphisme local π : X → B est dit étalé au-dessus de B. L'espace d'arrivée B de la projection est appelé la base de l'homéomorphisme local. Pour tout point b ∈ B, on appelle fibre de X au-dessus du point b et l'on note X(b) le sous espace π(b) ⊂ X. On appelle section (continue) de π, ou de X, au-dessus de B, une application continue σ : B → X telle que π ∘ σ = Id. Un revêtement d'un espace topologique B est un espace X, muni d'un homéomorphisme local π : X → B surjectif, tel que pour tout point b de B, il existe un ouvert V contenant b, un espace discret F et un homéomorphisme Φ : π(V) → V×F qui commute avec les projections sur l'espace B, c'est-à-dire que si Φ(x) = (c, f) alors π(x) = c. Autrement dit : un revêtement est un fibré à fibres discrètes, avec la remarque que si la base B n'est pas connexe, la fibre F dépend du point base b et s'identifie à la fibre π(b). Plus simplement : π : X → B est un revêtement si tout point de B appartient à un ouvert V tel que π(V) soit une réunion disjointe d'ouverts appliqués homéomorphiquement par π sur V.

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Variété (géométrie)
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
Groupe fondamental
En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, le groupe fondamental, ou groupe de Poincaré, est un invariant topologique. Le groupe fondamental d'un espace topologique pointé (X, d) est, par définition, l'ensemble des classes d'homotopie de lacets (chemins fermés) de X de base d. C'est un groupe dont la loi de composition interne est induite par la concaténation (juxtaposition) des arcs. L'examen des groupes fondamentaux permet de prouver que deux espaces particuliers ne peuvent être homéomorphes (c'est-à-dire topologiquement équivalents).
Groupe orthogonal
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