vignette|420x420px|Si toute partie finie d'une théorie est satisfaisable (schématisée à gauche), alors la théorie est satisfaisable (schématisée à droite).
En logique mathématique, un théorème de compacité énonce que si toute partie finie d'une théorie est satisfaisable alors la théorie elle-même est satisfaisable. Il existe des logiques où il y a un théorème de compacité comme le calcul propositionnel ou la logique du premier ordre (on parle de logiques compactes). Il existe aussi des logiques sans théorème de compacité. Commençons l'article par un exemple informel où il n'y a pas de théorème de compacité en considérant la théorie suivante :un jour, il ne pleuvra pas ; il pleut ; demain il pleut ; après-demain il pleut ; dans 3 jours il pleut ; dans 4 jours il pleut ;...La théorie n'est pas satisfaisable (toutes les phrases ne peuvent être vraies en même temps). Pourtant, toute partie finie est satisfaisable. En d'autres termes, la logique temporelle linéaire n'est pas compacte.
En calcul propositionnel, une formule propositionnelle est dite satisfaisable si l'on peut assigner des valeurs de vérité (vrai ou faux) aux atomes constituant la formule de façon que celle-ci soit vrai. Par exemple, la formule "p et non q" est satisfaisable en mettant p à vrai et q à faux. Une telle assignation s'appelle une valuation. Par exemple, "p à vrai et q à faux" est une valuation. Ainsi, une formule est satisfaisable s'il existe une valuation qui la satisfait. Plus généralement une théorie propositionnelle est satisfaisable s'il existe une valuation qui satisfait chacune des formules de cette théorie. Le théorème de compacité s'énonce comme suit.
La démonstration qui suit est donnée dans le cas où T est dénombrable (elle s'étend au cas général en utilisant le lemme de Zorn, plutôt que le lemme de König, ou l'axiome du choix dépendant). Soit T un ensemble infini dénombrable de formules propositionnelles et φ(0), φ(1)... une énumération des formules de T.
Soit p(0), p(1)... une suite infinie dénombrable de variables propositionnelles avec lesquelles les formules de T sont construites.
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In the mathematical field of set theory, an ultrafilter on a set is a maximal filter on the set In other words, it is a collection of subsets of that satisfies the definition of a filter on and that is maximal with respect to inclusion, in the sense that there does not exist a strictly larger collection of subsets of that is also a filter. (In the above, by definition a filter on a set does not contain the empty set.) Equivalently, an ultrafilter on the set can also be characterized as a filter on with the property that for every subset of either or its complement belongs to the ultrafilter.
vignette|420x420px|Si toute partie finie d'une théorie est satisfaisable (schématisée à gauche), alors la théorie est satisfaisable (schématisée à droite). En logique mathématique, un théorème de compacité énonce que si toute partie finie d'une théorie est satisfaisable alors la théorie elle-même est satisfaisable. Il existe des logiques où il y a un théorème de compacité comme le calcul propositionnel ou la logique du premier ordre (on parle de logiques compactes). Il existe aussi des logiques sans théorème de compacité.
In logic and mathematics, second-order logic is an extension of first-order logic, which itself is an extension of propositional logic. Second-order logic is in turn extended by higher-order logic and type theory. First-order logic quantifies only variables that range over individuals (elements of the domain of discourse); second-order logic, in addition, also quantifies over relations. For example, the second-order sentence says that for every formula P, and every individual x, either Px is true or not(Px) is true (this is the law of excluded middle).
Branche des mathématiques en lien avec le fondement des mathématiques et l'informatique théorique. Le cours est centré sur la logique du 1er ordre et l'articulation entre syntaxe et sémantique.
Set Theory as a foundational system for mathematics. ZF, ZFC and ZF with atoms. Relative consistency of the Axiom of Choice, the Continuum Hypothesis, the reals as a countable union of countable sets,
In this paper, we obtain interior Holder continuity for solutions of the fourth-order elliptic system Delta(2)u = Delta(V center dot del u) + div(w del u) + W center dot del u formulated by Lamm and R
A proof of existence is given for a stationary model of alloy solidification. The system is composed of heat equation, solute equation and Navier-Stokes equations. In rite latter Carman-Kozeny penaliz