En mathématiques, une correspondance de Galois antitone est une généralisation, pour deux ordres partiels quelconques, de la correspondance entre sous-corps d'une extension galoisienne et sous-groupes de son groupe de Galois. Une correspondance de Galois isotone se définit de façon analogue, en inversant l'ordre sur le deuxième ensemble. Cette notion est reliée à celle d'opérateur de clôture.
Soient et des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés et . On vérifie facilement l'équivalence des deux définitions suivantes.
Première définition :
est une correspondance de Galois antitone si et sont décroissantes et si et sont extensives, c.-à-d. vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :
Deuxième définition : est une correspondance de Galois antitone si et vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :
Avec les mêmes notations que précédemment, une correspondance isotone de vers est, au sens de variation de et près (elles sont maintenant supposées croissantes), une correspondance antitone entre et l'ensemble ordonné , où désigne l'ordre opposé (ou « ordre dual ») de . Autrement dit :
Première définition :
est une correspondance de Galois isotone si et sont croissantes et si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :
Deuxième définition : est une correspondance de Galois isotone si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :
Soit une correspondance de Galois comme ci-dessus (antitone ou isotone).
et sont croissantes.
(et ), si bien que et sont idempotentes.
est un opérateur de clôture sur (puisqu'elle est de plus extensive).
Dans le cas antitone, est de même un opérateur de clôture sur .
Réciproquement, tout opérateur de clôture c sur un ensemble ordonné est de la forme pour une certaine correspondance de Galois, en choisissant par exemple pour Q l'image de c (muni de l'ordre induit ou de son opposé, selon qu'on souhaite construire une correspondance isotone ou antitone), pour la corestriction de c à Q, et pour l'injection canonique de Q dans P.
Treillis de Galois
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
En mathématiques, une correspondance de Galois antitone est une généralisation, pour deux ordres partiels quelconques, de la correspondance entre sous-corps d'une extension galoisienne et sous-groupes de son groupe de Galois. Une correspondance de Galois isotone se définit de façon analogue, en inversant l'ordre sur le deuxième ensemble. Cette notion est reliée à celle d'opérateur de clôture. Soient et des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés et . On vérifie facilement l'équivalence des deux définitions suivantes.
En mathématiques, un treillis () est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure. Un treillis peut être vu comme le treillis de Galois d'une relation binaire. Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique. Tout ensemble muni d'une relation d'ordre total est un treillis.
thumb|Dual d'un cube : un octaèdre. En mathématiques, le mot dualité a de nombreuses utilisations. Une dualité est définie à l'intérieur d'une famille d'objets mathématiques, c'est-à-dire qu'à tout objet de on associe un autre objet de . On dit que est le dual de et que est le primal de . Si (par = on peut sous-entendre des relations d'isomorphies complexes), on dit que est autodual. Dans de nombreux cas de dualité, le dual du dual est le primal. Ainsi, par exemple, le concept de complémentaire d'un ensemble pourrait être vu comme le premier des concepts de dualité.
Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a
Algebraic number theory is the study of the properties of solutions of polynomial equations with integral coefficients; Starting with concrete problems, we then introduce more general notions like alg
Ce cours commence par un rappel de la théorie de Galois vue en 2ème année : les extensions de corps et la correspondance de Galois.
Ensuite, on présente les applications et approfondissements.
In this paper we study an asymptotically optimal tame tower over the field with p(2) elements introduced by Garcia-Stichtenoth. This tower is related with a modular tower, for which explicit equations
American Mathematical Society, P.O. Box 6248 Ms. Phoebe Murdock, Providence, Ri 02940 Usa2009