Correspondance de Galois

En mathématiques, une correspondance de Galois antitone est une généralisation, pour deux ordres partiels quelconques, de la correspondance entre sous-corps d'une extension galoisienne et sous-groupes de son groupe de Galois. Une correspondance de Galois isotone se définit de façon analogue, en inversant l'ordre sur le deuxième ensemble. Cette notion est reliée à celle d'opérateur de clôture. Soient et des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés et . On vérifie facilement l'équivalence des deux définitions suivantes. Première définition : est une correspondance de Galois antitone si et sont décroissantes et si et sont extensives, c.-à-d. vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) : Deuxième définition : est une correspondance de Galois antitone si et vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) : Avec les mêmes notations que précédemment, une correspondance isotone de vers est, au sens de variation de et près (elles sont maintenant supposées croissantes), une correspondance antitone entre et l'ensemble ordonné , où désigne l'ordre opposé (ou « ordre dual ») de . Autrement dit : Première définition : est une correspondance de Galois isotone si et sont croissantes et si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) : Deuxième définition : est une correspondance de Galois isotone si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) : Soit une correspondance de Galois comme ci-dessus (antitone ou isotone). et sont croissantes. (et ), si bien que et sont idempotentes. est un opérateur de clôture sur (puisqu'elle est de plus extensive). Dans le cas antitone, est de même un opérateur de clôture sur . Réciproquement, tout opérateur de clôture c sur un ensemble ordonné est de la forme pour une certaine correspondance de Galois, en choisissant par exemple pour Q l'image de c (muni de l'ordre induit ou de son opposé, selon qu'on souhaite construire une correspondance isotone ou antitone), pour la corestriction de c à Q, et pour l'injection canonique de Q dans P. Treillis de Galois