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Concept
Treillis (ensemble ordonné)
Résumé
En mathématiques, un treillis () est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure. Un treillis peut être vu comme le treillis de Galois d'une relation binaire.
Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique.
Tout ensemble muni d'une relation d'ordre total est un treillis.
Par exemple, tout ensemble de réels muni de l'ordre usuel.
Parmi les ensembles munis d'une relation d'ordre partiel, des exemples simples de treillis sont issus des relations d'ordre « est inclus dans » et « divise ».
L'ensemble des parties d'un ensemble muni de l'inclusion forme un treillis où la borne supérieure est l'union et la borne inférieure l'intersection.
Si une partie d'un treillis est stable par borne supérieure et borne inférieure, elle forme un treillis (pour l'ordre restreint). C'est ainsi que l'ensemble des ouverts d'un espace topologique (toujours muni de l'inclusion) et un filtre sur un ensemble forment des treillis.
Cette condition de stabilité n'est pas nécessaire :
l'ensemble des intervalles fermés de R (y compris l'ensemble vide) est un treillis dont la borne inférieure est l'intersection et dont la borne supérieure n'est pas toujours l'union : ainsi la borne supérieure des intervalles [1, 3] et [4, 5] est l'intervalle [1, 5] ;
l'ensemble des relations d'équivalence sur un ensemble donné est un treillis (ordonné par la finesse entre relations binaires) dont la borne inférieure est l'intersection (sur les graphes) mais la borne supérieure est la relation d'équivalence engendrée par l'union.
L'ensemble des entiers naturels muni de la relation « divise » forme un treillis, où la borne supérieure est le PPCM et la borne inférieure est le PGCD.
Pour tout entier n ≥ 3, l'ensemble des entiers de 1 à n, muni de la relation d'ordre « divise », n'est pas un treillis car la paire {n, n – 1} n'a pas de borne supérieure ni même de majorant (car tout multiple de n et n – 1 est multiple de n(n – 1), qui est > n).
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