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Concept
Hauteur d'un triangle
Résumé
En géométrie plane, une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et coupant perpendiculairement le côté opposé à ce sommet (éventuellement prolongé). Les pieds des hauteurs sont les projetés orthogonaux de chacun des sommets sur la droite portant le côté opposé.
On donne également le nom de hauteur au segment joignant un sommet et le pied de la hauteur passant par ce sommet, ainsi qu'à la longueur de ce segment, soit la distance séparant un sommet et la droite portant son côté opposé.
Pour une hauteur passant par un sommet donné (appelé apex), la base associée à cette hauteur est le côté opposé au sommet (ou sa longueur).
Avec les notations classiques d'un triangle (ABC) , la hauteur (en tant que distance) issue de A vaut où est l'aire du triangle (laquelle s'exprime en fonction des côtés par la formule de Héron). Les hauteurs sont donc inversement proportionnelles aux longueurs des côtés auxquelles elles aboutissent.
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection , est nommé orthocentre du triangle. L'orthocentre d'un triangle acutangle est situé à l'intérieur du triangle tandis que celui d'un triangle obtusangle est situé à l'extérieur.
Une démonstration utilise la relation qui montre que si un point appartient à deux hauteurs, il appartient aussi à la troisième.
L'orthocentre est le barycentre des systèmes :
ou ou encore .
Ses coordonnées trilinéaires par rapport aux côtés du triangle sont :
ou .
Pour un triangle acutangle, notant R le rayon du cercle circonscrit :
Les distances aux sommets sont données par : et les formules permutées.
On en déduit la relation : .
Les distances aux côtés sont données par : .
Les trois sommets du triangle et leur orthocentre forment un quadrangle orthocentrique : chacun de ces points est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres points.
Dans un triangle, le centre du cercle inscrit dans le triangle et les centres des cercles exinscrits forment également un quadrangle orthocentrique.
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