Espace symétrique

Résumé

En mathématiques, et plus spécifiquement en géométrie différentielle, un espace symétrique est une variété, espace courbe sur lequel on peut définir une généralisation convenable de la notion de symétrie centrale. La définition précise de la notion d'espace symétrique dépend du type de structure dont on munit la variété. Le plus couramment, on entend par espace symétrique une variété munie d'une métrique riemannienne pour laquelle l'application de symétrie le long des géodésiques constitue une isométrie. Il est intéressant de considérer la notion plus large d'espace localement symétrique (lorsque les symétries géodésiques, définies localement, sont des isométries locales). En effet, ce sont aussi les variétés riemanniennes pour lesquelles le tenseur de Riemann a une dérivée covariante nulle. Cette condition généralise celle d'« » et ne doit pas être confondue avec elle (puisque pour ces dernières c'est la courbure sectionnelle qui est constante). Les espaces symétriques possèdent e

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_sym%C3%A9trique

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Torsion homology of arithmetic lattices and K-2 of imaginary fields

Vincent Emery

Let be a symmetric space of noncompact type. A result of Gelander provides exponential upper bounds in terms of the volume for the torsion homology of the noncompact arithmetic locally symmetric spaces . We show that under suitable assumptions on this result can be extended to the case of nonuniform arithmetic lattices that may contain torsion. Using recent work of Calegari and Venkatesh we deduce from this upper bounds (in terms of the discriminant) for of the ring of integers of totally imaginary number fields . More generally, we obtain such bounds for rings of -integers in F.

Springer Heidelberg2014

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Toda frames, harmonic maps and extended Dynkin diagrams

Katharine Felicity Turner

We consider a natural subclass of harmonic maps from a surface into G/T, namely cyclic primitive maps. Here G is any simple real Lie group (not necessarily compact), T is a Cartan subgroup and both are chosen so that there is a Coxeter automorphism on G(C)/T-C which restricts to give a k-symmetric space structure on G/T. When G is compact, any Coxeter automorphism restricts to the real form. It was shown in [3] that cyclic primitive immersions into compact G/T correspond to solutions of the affine Toda field equations and all those of a genus one surface can be constructed by integrating a pair of commuting vector fields on a finite dimensional vector subspace of a Lie algebra. We generalise these results, removing the assumption that G is compact. The first major obstacle is that a Coxeter automorphism may not restrict to a non-compact real form. We characterise, in terms of extended Dynkin diagrams, those simple real Lie groups G and Cartan subgroups T such that G/T has a k-symmetric space structure induced from a Coxeter automorphism. A Coxeter automorphism preserves the real Lie algebra g if and only if any corresponding Cartan involution defines a permutation of the extended Dynkin diagram for g(C) = g circle times C; we show that every involution of the extended Dynkin diagram for a simple complex Lie algebra g(C) is induced by a Cartan involution of a real form of sf. (C) 2017 Published by Elsevier B.V.

Elsevier2017

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Isometry groups of non-positively curved spaces: Structure Theory

Nicolas Monod

We develop the structure theory of full isometry groups of locally compact non-positively curved metric spaces. Amongst the discussed themes are de Rham decompositions, normal subgroup structure and characterising properties of symmetric spaces and Bruhat--Tits buildings. Applications to discrete groups and further developments on non-positively curved lattices are exposed in a companion paper: "Isometry groups of non-positively curved spaces: Discrete subgroups".

2009

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