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Concept
Espace symétrique
Résumé
En mathématiques, et plus spécifiquement en géométrie différentielle, un espace symétrique est une variété, espace courbe sur lequel on peut définir une généralisation convenable de la notion de symétrie centrale. La définition précise de la notion d'espace symétrique dépend du type de structure dont on munit la variété. Le plus couramment, on entend par espace symétrique une variété munie d'une métrique riemannienne pour laquelle l'application de symétrie le long des géodésiques constitue une isométrie.
Il est intéressant de considérer la notion plus large d'espace localement symétrique (lorsque les symétries géodésiques, définies localement, sont des isométries locales). En effet, ce sont aussi les variétés riemanniennes pour lesquelles le tenseur de Riemann a une dérivée covariante nulle. Cette condition généralise celle d'« » et ne doit pas être confondue avec elle (puisque pour ces dernières c'est la courbure sectionnelle qui est constante).
Les espaces symétriques possèdent encore d'autres caractérisations remarquables. Ce sont notamment des espaces homogènes, quotients de groupes de Lie. Ils ont été introduits et classifiés par Élie Cartan dans les années 1920.
Les espaces symétriques constituent un cadre naturel pour généraliser l'analyse harmonique classique sur les sphères.
Dans une acception plus large, un espace symétrique est une variété différentielle munie, en chaque point, d'une involution dont ce point est un point fixe isolé, et vérifiant certaines conditions. Lorsqu'il n'y pas de risque de confusion, les espaces riemanniens symétriques sont simplement appelés espaces symétriques.
Les espaces à courbure constante, la plupart des espaces homogènes usuels de la géométrie différentielle sont soit des espaces symétriques (riemanniens ou non) soit ce que l'on appelle variétés de drapeaux généralisées (généralisation des espaces projectifs, des grassmanniennes, des quadriques projectives).
En géométrie riemannienne, une variété riemannienne (M,g) possède une connexion canonique : la connexion de Levi-Civita, qui permet de dériver les tenseurs de tous ordres.
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