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Concept
Forme quadratique binaire
Résumé
En mathématiques, une forme quadratique binaire est une forme quadratique — c'est-à-dire un polynôme homogène de degré 2 — en deux variables :
Les propriétés d'une telle forme dépendent de façon essentielle de la nature des coefficients a, b, c, qui peuvent être par exemple des nombres réels ou rationnels ou, ce qui rend l'étude plus délicate, entiers.
Fermat considérait déjà des formes quadratiques binaires entières, en particulier pour son théorème des deux carrés. La résolution d'autres équations diophantiennes comme celle de Pell-Fermat fait aussi partie de leur théorie, dont l'étude systématique a été entreprise par Lagrange en 1773 et 1775 et poursuivie en 1801 par Gauss, après des contributions de Legendre. Gauss étudia comme Lagrange les questions d'équivalence et de réduction, et introduisit la composition des formes quadratiques binaires. Ces recherches de Gauss ont fortement influencé à la fois la théorie arithmétique des formes quadratiques en plus de deux variables et le développement de la théorie algébrique des nombres, où l'étude des corps quadratiques est étendue à celle des corps de nombres.
Une forme quadratique binaire q(x, y) = ax + bxy + cy est dite entière si les coefficients a, b et c sont des entiers relatifs. Il revient au même de dire que les — c'est-à-dire les lorsque (x, y) parcourt Z — sont toutes entières. Une question classique est de décrire l'ensemble des entiers représentés par une forme donnée et, pour un tel entier, le nombre de ses représentations.
Une représentation primitive d'un entier est une représentation de la forme q(x, y) avec x et y premiers entre eux. Par exemple, a et c sont primitivement représentés par q, et toute représentation d'un nombre premier est primitive.
L'entier D = b – 4ac est appelé le discriminant de la forme. Il est congru à 0 ou 1 modulo 4.
Deux formes entières sont dites équivalentes si elles sont dans la même orbite pour l'action naturelle du groupe linéaire GL(2, Z) des matrices 2×2 à coefficients entiers de déterminant égal à ±1, c'est-à-dire si l'une est la composée de l'autre par le changement de variables associé à une telle matrice.
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