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Concept
Théorème fondamental de la théorie de Galois
Résumé
En mathématiques et plus précisément en algèbre commutative, le théorème fondamental de la théorie de Galois établit une correspondance entre les extensions intermédiaires d'une extension finie de corps et leurs groupes de Galois, dès lors que l'extension est galoisienne, c’est-à-dire séparable et normale.
Soient L une extension galoisienne finie de K et G son groupe de Galois. Pour tout sous-groupe H de G, on note LH le sous-corps de L constitué des éléments fixés par chaque élément de H.
L est une extension galoisienne de LH et H est le groupe de Galois associé.
L'application qui à chaque H associe LH est une bijection de l'ensemble des sous-groupes de G dans l'ensemble des corps intermédiaires compris entre K et L.
L'extension LH de K est galoisienne si et seulement si H est un sous-groupe normal de G. Alors, le groupe de Galois de cette extension est isomorphe au groupe quotient G/H.
Le cas général. Si on ne suppose plus l'extension finie, le groupe de Galois Gal(L/K), c'est-à-dire le groupe des K-automorphismes de L, est un groupe profini (limite projective de groupes finis), muni de la topologie profinie. Le théorème fondamental s'énonce comme suit :
Les trois premières propositions ci-dessous sont démontrées dans le paragraphe « Théorème fondamental de la théorie de Galois » de l'article sur les extensions de Galois et la quatrième dans le paragraphe « Morphisme dans la clôture algébrique » de l'article sur les extensions séparables. La cinquième est immédiate.
(Lemme d'Artin) Soient L un corps, G un groupe fini d'automorphismes de L, d'ordre n et K le sous-corps des éléments fixés par tous les éléments de G. Alors L est une extension galoisienne de K, de degré n.
Si L est une extension galoisienne de K et si F est un corps intermédiaire (), alors L est une extension galoisienne de F et Gal(L/F) est le sous-groupe de Gal(L/K) constitué des éléments qui laissent F invariant.
Si L est une extension galoisienne finie de K, alors le sous-corps des éléments de L fixés par tous les éléments de Gal(L/K) est réduit à K.
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