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Concept
Homotopie
Résumé
En mathématiques, une homotopie est une déformation continue entre deux applications, notamment entre les chemins à extrémités fixées et en particulier les lacets. Cette notion topologique permet de définir des invariants algébriques utilisés pour classifier les applications continues entre espaces topologiques dans le cadre de la topologie algébrique.
L’homotopie induit une relation d'équivalence sur les applications continues, compatible avec la composition, qui mène à la définition de l’équivalence d'homotopie entre espaces topologiques.
L'homotopie fournit des informations sur la nature topologique d'un espace. Une bande circulaire d'un plan ne peut être équivalente, au sens de l'homéomorphisme, à un disque. Dans un disque, tout lacet est homotope à un point. Dans une bande circulaire, ce n'est pas le cas. Cette remarque est source de démonstrations, comme celles du théorème de d'Alembert-Gauss, du point fixe de Brouwer, de Borsuk-Ulam ou encore celle du théorème du sandwich au jambon qui précise par exemple que, pour trois solides mesurables et de mesures finies de l'espace usuel, il existe un plan qui sépare chacun des solides en deux parties de mesures égales.
C'est une classe d'équivalence du chemin pour la relation d'homotopie.
thumb|Les deux chemins γ0 et γ1 sont strictement homotopes.
Soit X un espace topologique. Un chemin continu γ de X est une application continue du segment réel [0, 1] dans X. Cette définition correspond à l'idée intuitive de chemin, au sens de sentier qui part d'un point γ(0) pour arriver à un autre point γ(1).
Deux chemins continus γ0 et γ1 de X sont dits homotopes lorsqu'il existe une application continue H de [0, 1]2 dans X telle que l'application qui à t associe H(t, 0) est égale à γ0 et celle qui à t associe H(t, 1) est égale à γ1. Formellement :
Cette situation ne décrit pas encore exactement la situation représentée à droite. Sur l'illustration, les deux chemins γ0 et γ1 possèdent la même origine x ainsi que la même extrémité y.
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