Concept
Homotopie
Concepts associés (37)
Variété (géométrie)
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
CW-complexe
En topologie algébrique, un CW-complexe est un type d'espace topologique, défini par J. H. C. Whitehead pour répondre aux besoins de la théorie de l'homotopie. L'idée était de travailler sur une classe d'objets plus grande que celle des complexes simpliciaux et possédant de meilleures propriétés du point de vue de la théorie des catégories, mais présentant comme eux des propriétés combinatoires se prêtant aux calculs. Le nom CW provient du qualificatif de l'espace topologique, en anglais : closure-finite weak topology, pour « à fermeture finie » et « topologie faible ».
Groupe d'homotopie
En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. Première définition Soit X un espace topologique et un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension . Le i-ième groupe d'homotopie supérieur est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : .
Topologie algébrique
La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est la branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à associer de manière naturelle des invariants algébriques aux structures topologiques associées. La naturalité signifie que ces invariants vérifient des propriétés de fonctorialité au sens de la théorie des catégories. L'idée fondamentale est de pouvoir associer à tout espace topologique des objets algébriques (nombre, groupe, espace vectoriel, etc.
Variété différentielle
En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.
Homologie (mathématiques)
En mathématiques, l'homologie est une manière générale d'associer une séquence d'objets algébriques tels que des groupes abéliens ou des modules à d'autres objets mathématiques tels que des espaces topologiques. Les groupes d'homologie ont été définis à l'origine dans la topologie algébrique. Des constructions similaires sont disponibles dans beaucoup d'autres contextes, tels que l'algèbre abstraite, les groupes, les algèbres de Lie, la théorie de Galois et la géométrie algébrique.
Ruban de Möbius
vignette|Réalisation à partir d'une bande de papier. En topologie, le ruban de Möbius (aussi appelé bande de Möbius ou boucle de Möbius) est une surface compacte dont le bord est homéomorphe à un cercle. Autrement dit, il ne possède qu'une seule face (et un seul bord) contrairement à un ruban classique qui en possède deux. La surface a la particularité d'être réglée et non orientable. Elle a été décrite indépendamment en 1858 par les mathématiciens August Ferdinand Möbius (1790-1868) et Johann Benedict Listing (1808-1882).
Espace contractile
En mathématiques, un espace topologique est dit contractile s'il est homotopiquement équivalent à un point. Tous ses groupes d'homotopie sont donc triviaux, ainsi que ses groupes d'homologie de degré > 0. Tout espace vectoriel normé (ou même : tout espace vectoriel topologique sur R) est contractile, à commencer par la droite réelle et le plan complexe. Plus généralement, toute partie étoilée d'un tel espace (en particulier : tout convexe non vide, comme un intervalle réel ou un disque) est clairement contractile.
Connexité (mathématiques)
La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau ». Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié. Soit un espace topologique E. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes : E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ; E n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ; les seuls ouverts-fermés de E sont ∅ et E ; toute application continue de E dans un ensemble à deux éléments muni de la topologie discrète est constante.
Connectivité
La connectivité désigne ce qu'une entité offre comme à d'autres entités de son environnement. Elle se rapporte plus généralement à la théorie des graphes. En écologie, la connectivité écologique désigne le degré de non-fragmentation écologique des milieux et paysages. La connectivité est parfois utilisée pour désigner les connecteurs offerts par un dispositif physique, par exemple, pour un appareil électrique. En géométrie, la connectivité peut aussi désigner le voisinage d'une entité dans un pavage.