Résumé
In the finite element method for the numerical solution of elliptic partial differential equations, the stiffness matrix is a matrix that represents the system of linear equations that must be solved in order to ascertain an approximate solution to the differential equation. For simplicity, we will first consider the Poisson problem on some domain Ω, subject to the boundary condition u = 0 on the boundary of Ω. To discretize this equation by the finite element method, one chooses a set of basis functions {φ_1, ..., φ_n} defined on Ω which also vanish on the boundary. One then approximates The coefficients u_1, u_2, ..., u_n are determined so that the error in the approximation is orthogonal to each basis function φ_i: The stiffness matrix is the n-element square matrix A defined by By defining the vector F with components the coefficients u_i are determined by the linear system Au = F. The stiffness matrix is symmetric, i.e. A_ij = A_ji, so all its eigenvalues are real. Moreover, it is a strictly positive-definite matrix, so that the system Au = F always has a unique solution. (For other problems, these nice properties will be lost.) Note that the stiffness matrix will be different depending on the computational grid used for the domain and what type of finite element is used. For example, the stiffness matrix when piecewise quadratic finite elements are used will have more degrees of freedom than piecewise linear elements. Determining the stiffness matrix for other PDEs follows essentially the same procedure, but it can be complicated by the choice of boundary conditions. As a more complex example, consider the elliptic equation where is a positive-definite matrix defined for each point x in the domain. We impose the Robin boundary condition where ν_k is the component of the unit outward normal vector ν in the k-th direction. The system to be solved is as can be shown using an analogue of Green's identity. The coefficients u_i are still found by solving a system of linear equations, but the matrix representing the system is markedly different from that for the ordinary Poisson problem.
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Concepts associés (3)
Méthode des éléments finis
En analyse numérique, la méthode des éléments finis (MEF, ou FEM pour finite element method en anglais) est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles. Celles-ci peuvent par exemple représenter analytiquement le comportement dynamique de certains systèmes physiques (mécaniques, thermodynamiques, acoustiques).
Stiffness matrix
In the finite element method for the numerical solution of elliptic partial differential equations, the stiffness matrix is a matrix that represents the system of linear equations that must be solved in order to ascertain an approximate solution to the differential equation. For simplicity, we will first consider the Poisson problem on some domain Ω, subject to the boundary condition u = 0 on the boundary of Ω. To discretize this equation by the finite element method, one chooses a set of basis functions {φ_1, .
Valeur propre, vecteur propre et espace propre
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.
Cours associés (3)
ME-372: Finite element method
L'étudiant acquiert une initiation théorique à la méthode des éléments finis qui constitue la technique la plus courante pour la résolution de problèmes elliptiques en mécanique. Il apprend à applique
CIVIL-321: Numerical modelling of solids and structures
La modélisation numérique des solides est abordée à travers la méthode des éléments finis. Les aspects purement analytiques sont d'abord présentés, puis les moyens d'interpolation, d'intégration et de
CIVIL-449: Nonlinear analysis of structures
This course deals with the nonlinear modelling and analysis of structures when subjected to monotonic, cyclic, and dynamic loadings, focusing in particular on the seismic response of structures. It in
Séances de cours associées (43)
Méthode des éléments finis : équivalence globale et fonctions de forme
Discute de l'équivalence des formulations fortes et faibles dans la méthode des éléments finis.
Analyse des éléments finis
Couvre les fondamentaux de l'analyse des éléments finis et le concept des forces de volume.
Cartographie locale à mondiale dans l'analyse des éléments finis
Discute de la cartographie des coordonnées locales à mondiales dans l'analyse des éléments finis et de l'importance de la numérotation du vertex.
Afficher plus