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Concept
Dérivée extérieure
Résumé
En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de degré quelconque.
Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie de l'intégration sur les variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et celle d'Alexander-Spanier. Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.
Pour toute variété différentielle M, Ω(M) désigne l'algèbre graduée anti-commutative des formes différentielles sur M. Il existe un unique opérateur linéaire , appelé dérivée extérieure, vérifiant :
si ω est de degré k alors dω est de degré k + 1 ;
en notant ∧ le produit extérieur, si α est de degré k, on a : ;
le carré de d est nul : d(dω) = 0 ;
pour toute 0-forme, c'est-à-dire toute fonction lisse f, la 1-forme df est la différentielle de f.
Les éléments du noyau de d sont appelés les formes fermées, et ceux de son les formes exactes.
Pour une k-forme sur R, la différentielle s'écrit
En particulier, pour une 0-forme (i.e. une fonction) , on retrouve l'expression de la différentielle:
Pour une 1-forme sur R,
on a :
ce qui correspond exactement à la 2-forme qui apparaît dans le théorème de Green.
La différentielle extérieure commute au , c'est-à-dire que pour toute application différentiable f : M → N et toute forme ω sur N, f*(dω) = d(f*ω).
Étant donné de degré k et des champs vectoriels arbitraires lisses , on a
où dénote le crochet de Lie et
En particulier, pour les 1-formes :
et pour les 2-formes :
La correspondance suivante révèle environ une douzaine de formules du calcul vectoriel qui apparaissent comme des cas spéciaux des trois règles de différentiation extérieure ci-dessus.
Pour une 0-forme sur R, c'est-à-dire une fonction lisse , on a
Alors
où dénote le gradient de f et est le produit scalaire.
Source officielle
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