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Cohomologie de De Rham

Résumé

En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique fondée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Elle porte le nom du mathématicien Georges de Rham. Le affirme que le morphisme naturel, de la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle vers sa cohomologie singulière à coefficients réels, est bijectif. Définitions Soit M une variété différentielle, décrivons l' (Ω*(M), d) de ses formes différentielles. Pour tout entier naturel p :

\Omega^p(M) est l'espace des formes différentielles de degré p sur M.
\mathrm d^p:\Omega^p(M)\rightarrow \Omega^{p+1}(M) est l'opérateur de différentiation extérieure sur les formes différentielles de degré p.

On note dω la dérivée extérieure de ω quand on ne veut pas préciser son degré ; il faut alors sous-entendre dω où p est le

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Cohomologie_de_De_Rham

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, ,

In this paper we determine the motivic class---in particular, the weight polynomial and conjecturally the Poincar'e polynomial---of the open de Rham space, defined and studied by Boalch, of certain moduli of irregular meromorphic connections on the trivial bundle on

\mathbb{P}^1

. The computation is by motivic Fourier transform. We show that the result satisfies the purity conjecture, that is, it agrees with the pure part of the conjectured mixed Hodge polynomial of the corresponding wild character variety. We also identify the open de Rham spaces with quiver varieties with multiplicities of Yamakawa and Geiss--Leclerc--Schr"oer. We finish with constructing natural complete hyperk"ahler metrics on them, which in the

4

-dimensional cases are expected to be of type ALF.

2018

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Arithmetic and metric aspects of open de Rham spaces

Tamás Hausel, Michael Lennox Wong, Dimitri Stelio Wyss

In this paper we determine the motivic class---in particular, the weight polynomial and conjecturally the Poincaré polynomial---of the open de Rham space, defined and studied by Boalch, of certain moduli of irregular meromorphic connections on the trivial bundle on

\blackbb{P}^1

. The computation is by motivic Fourier transform. We show that the result satisfies the purity conjecture, that is, it agrees with the pure part of the conjectured mixed Hodge polynomial of the corresponding wild character variety. We also identify the open de Rham spaces with quiver varieties with multiplicities of Yamakawa and Geiss--Leclerc--Schröer. We finish with constructing natural complete hyperkähler metrics on them, which in the

4

-dimensional cases are expected to be of type ALF.

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Motivic and p-adic Localization Phenomena

Dimitri Stelio Wyss

In this thesis we compute motivic classes of hypertoric varieties, Nakajima quiver varieties and open de Rham spaces in a certain localization of the Grothendieck ring of varieties. Furthermore we study the

p

-adic pushforward of the Haar measure under a hypertoric moment map

\mu

. This leads to an explicit formula for the Igusa zeta function

\FI_\mu(s)

\mu

, and in particular to a small set of candidate poles for

\FI_\mu(s)

. We also study various properties of the residue at the largest pole of

\FI_\mu(s)

. Finally, if

\mu

is constructed out of a quiver

\Gamma

we give a conjectural description of this residue in terms of indecomposable representations of

\Gamma

over finite depth rings. The connections between these different results is the method of proof. At the heart of each theorem lies a motivic or

p

-adic volume computation, which is only possible due to some surprising cancellations. These cancellations are reminiscent of a result in classical symplectic geometry by Duistermaat and Heckman on the localization of the Liouville measure, hence the title of the thesis.

EPFL2017

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Motivic and p-adic Localization Phenomena

Dimitri Stelio Wyss

p

-adic pushforward of the Haar measure under a hypertoric moment map

\mu

. This leads to an explicit formula for the Igusa zeta function

\FI_\mu(s)

\mu

, and in particular to a small set of candidate poles for

\FI_\mu(s)

. We also study various properties of the residue at the largest pole of

\FI_\mu(s)

. Finally, if

\mu

is constructed out of a quiver

\Gamma

we give a conjectural description of this residue in terms of indecomposable representations of

\Gamma

over finite depth rings. The connections between these different results is the method of proof. At the heart of each theorem lies a motivic or

p

EPFL2017

, ,

\mathbb{P}^1

4

-dimensional cases are expected to be of type ALF.

2018

Arithmetic and metric aspects of open de Rham spaces

Tamás Hausel, Michael Lennox Wong, Dimitri Stelio Wyss

\blackbb{P}^1

. The computation is by motivic Fourier transform. We show that the result satisfies the purity conjecture, that is, it agrees with the pure part of the conjectured mixed Hodge polynomial of the corresponding wild character variety. We also identify the open de Rham spaces with quiver varieties with multiplicities of Yamakawa and Geiss--Leclerc--Schröer. We finish with constructing natural complete hyperkähler metrics on them, which in the

4

-dimensional cases are expected to be of type ALF.