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Concept
Cohomologie de De Rham
Résumé
En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique fondée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Elle porte le nom du mathématicien Georges de Rham.
Le affirme que le morphisme naturel, de la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle vers sa cohomologie singulière à coefficients réels, est bijectif.
Soit M une variété différentielle, décrivons l' (Ω*(M), d) de ses formes différentielles. Pour tout entier naturel p :
est l'espace des formes différentielles de degré p sur M.
est l'opérateur de différentiation extérieure sur les formes différentielles de degré p.
On note dω la dérivée extérieure de ω quand on ne veut pas préciser son degré ; il faut alors sous-entendre dω où p est le degré de ω.
L'étude de la cohomologie de De Rham est l'étude de la "conservation" de certaines propriétés algébriques le long de la chaîne:
dans un certain sens expliqué plus bas.
Lorsque (i.e. ), on dit que la forme différentielle est fermée.
Lorsqu’il existe une forme telle que (i.e. ), on dit que la forme différentielle est exacte.
On a pour tout p la relation d ∘ d = 0, souvent abrégé en . On en déduit le :
Le lemme de Poincaré permet de montrer que la réciproque est vraie localement :
Plus précisément, pour toute forme fermée définie sur un ouvert U de M contenant x, il existe un voisinage de x contenu dans U sur lequel la restriction de la forme est exacte.
En effet, si M ⊂ R est un ouvert étoilé, ou un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, un calcul montre que toute forme fermée est exacte. Maintenant si M est quelconque, tout point admet un voisinage difféomorphe à une boule et on est ramené au cas précédent.
Un lemme de Poincaré global n'existe pas. Par exemple, sur le plan R privé de l'origine, la forme
est fermée, mais non exacte.
Dans le cas général, le p-ième groupe de cohomologie de De Rham mesure l'obstruction pour une forme fermée à être exacte.
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