En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique fondée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Elle porte le nom du mathématicien Georges de Rham.
Le affirme que le morphisme naturel, de la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle vers sa cohomologie singulière à coefficients réels, est bijectif.
Soit M une variété différentielle, décrivons l' (Ω*(M), d) de ses formes différentielles. Pour tout entier naturel p :
est l'espace des formes différentielles de degré p sur M.
est l'opérateur de différentiation extérieure sur les formes différentielles de degré p.
On note dω la dérivée extérieure de ω quand on ne veut pas préciser son degré ; il faut alors sous-entendre dω où p est le degré de ω.
L'étude de la cohomologie de De Rham est l'étude de la "conservation" de certaines propriétés algébriques le long de la chaîne:
dans un certain sens expliqué plus bas.
Lorsque (i.e. ), on dit que la forme différentielle est fermée.
Lorsqu’il existe une forme telle que (i.e. ), on dit que la forme différentielle est exacte.
On a pour tout p la relation d ∘ d = 0, souvent abrégé en . On en déduit le :
Le lemme de Poincaré permet de montrer que la réciproque est vraie localement :
Plus précisément, pour toute forme fermée définie sur un ouvert U de M contenant x, il existe un voisinage de x contenu dans U sur lequel la restriction de la forme est exacte.
En effet, si M ⊂ R est un ouvert étoilé, ou un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, un calcul montre que toute forme fermée est exacte. Maintenant si M est quelconque, tout point admet un voisinage difféomorphe à une boule et on est ramené au cas précédent.
Un lemme de Poincaré global n'existe pas. Par exemple, sur le plan R privé de l'origine, la forme
est fermée, mais non exacte.
Dans le cas général, le p-ième groupe de cohomologie de De Rham mesure l'obstruction pour une forme fermée à être exacte.
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Smooth manifolds constitute a certain class of topological spaces which locally look like some Euclidean space R^n and on which one can do calculus. We introduce the key concepts of this subject, such
This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex
En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en analyse vectorielle, l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel E est une algèbre associative graduée, notée . La multiplication entre deux éléments a et b est appelée le produit extérieur et est notée . Le carré de tout élément de E est zéro (), on dit que la multiplication est alternée, ce qui entraîne que pour deux éléments de E : (la loi est « anti-commutative »). L'algèbre extérieure est aussi appelée algèbre de Grassmann nommée ainsi en l'honneur de Hermann Grassmann.
En mathématiques, un faisceau est un outil permettant de suivre systématiquement des données définies localement et rattachées aux ouverts d'un espace topologique. Les données peuvent être restreintes à des ouverts plus petits, et les données correspondantes à un ouvert sont équivalentes à l'ensemble des données compatibles correspondantes aux ouverts plus petits couvrant l'ouvert d'origine. Par exemple, de telles données peuvent consister en des anneaux de fonctions réelles continues ou lisses définies sur chaque ouvert.
La théorie de Hodge est l'étude, avec l'apport notamment de la topologie algébrique, des formes différentielles sur une variété lisse. En conséquence elle éclaire l'étude des variétés riemanniennes et kählériennes, ainsi que l'étude géométrique des motifs. Elle tient son nom du mathématicien écossais William Hodge. Un des problèmes du prix du millénaire a trait à cette théorie : la conjecture de Hodge.
Actif de 1965 à 1973, le Centre de rationalisation et d’organisation des constructions scolaires (CROCS) œuvre dans le cadre d’un vaste programme d’études initié par la Municipalité de Lausanne. Le procédé de construction métallique industrialisée issu de ...
ENSAP Lille / Editions de la Maison des sciences de l'homme2021
We prove that the real cohomology of semi-simple Lie groups admits boundary values, which are measurable cocycles on the Furstenberg boundary. This generalises known invariants such as the Maslov index on Shilov boundaries, the Euler class on projective sp ...
Les émissions de CO2 émises par le secteur de la construction représentent 11% des émissions globales de l’humanité (2019). En raison de l’urgence climatique, il est nécessaire de les réduire. Dans ce contexte et selon les conclusions données par la pré-é ...