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Concept
Résolution d'un triangle
Résumé
En géométrie, la résolution d'un triangle consiste en la détermination des différents éléments d'un triangle (longueurs des côtés, mesure des angles, aire) à partir de certains autres. Historiquement, la résolution des triangles fut motivée
en cartographie, pour la mesure des distances par triangulation ;
en géométrie euclidienne chez les Grecs, pour la résolution de nombreux problèmes de géométrie ;
en navigation, pour le point, qui utilise des calculs de coordonnées terrestres et astronomiques (trigonométrie sphérique).
Aujourd'hui, la résolution des triangles continue d'être utilisée dans un grand nombre de problèmes faisant intervenir la triangulation (architecture, relevés cadastraux, vision binoculaire) et, plus généralement, la trigonométrie (astronomie, cartographie).
En géométrie euclidienne, la donnée de trois des éléments du triangles, dont au moins un côté, est nécessaire et suffisante à la résolution du triangle, l'un des cas de résolution pouvant admettre deux solutions. En géométrie sphérique ou hyperbolique, la donnée des trois angles est également suffisante. La résolution fait intervenir la trigonométrie, en particulier certaines relations classiques dans le triangle comme le théorème d'Al-Kashi, la loi des sinus, la loi des tangentes, et la somme de ses angles.
La résolution d'un triangle en géométrie euclidienne utilise un certain nombre de relations entre éléments du triangle. Les plus souvent utilisées sont
le théorème d'Al-Kashi ;
la formule de Héron ;
la loi des sinus ;
la loi des tangentes ;
la somme des angles d'un triangle vaut π rad soit ,
bien qu'il soit également possible d'utiliser d'autres relations pour aboutir à une solution.
Ci-dessous sont énumérés les différents cas de figure en fonction des trois éléments connus parmi les trois angles et les trois côtés. Les formules analytiques sont données pour les côtés ou les angles inconnus, ainsi que l'aire S.
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Concepts associés (13)
Formule de Mollweide
Les formules de Mollweide, nommées d'après le mathématicien et astronome prussien (1774-1825), sont les identités trigonométriques suivantes en géométrie du triangle : où (cf. figure ci-contre) a, b et c désignent les longueurs des côtés d'un triangle ABC et α, β et γ les mesures des angles opposés. La loi des tangentes en est un corollaire immédiat, compte tenu du fait que γ/2 est complémentaire de α + β/2 (donc le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre).
Résolution d'un triangle
En géométrie, la résolution d'un triangle consiste en la détermination des différents éléments d'un triangle (longueurs des côtés, mesure des angles, aire) à partir de certains autres. Historiquement, la résolution des triangles fut motivée en cartographie, pour la mesure des distances par triangulation ; en géométrie euclidienne chez les Grecs, pour la résolution de nombreux problèmes de géométrie ; en navigation, pour le point, qui utilise des calculs de coordonnées terrestres et astronomiques (trigonométrie sphérique).
Loi des cotangentes
En géométrie du triangle, la loi des cotangentes est une relation entre les longueurs a, b et c des côtés d'un triangle et les cotangentes de ses angles moitiés α/2, β/2 et γ/2 : où p = a + b + c/2 désigne le demi-périmètre et r le rayon du cercle inscrit. Découpons le triangle (cf. Fig. 2) en six triangles rectangles, symétriques deux par deux par rapport aux bissectrices et de côtés (AM, r, x), (BM, r, y) et (CM, r, z), avec x + y = c, y + z = a et z + x = b.