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Concept
Loi Gamma généralisée
Résumé
En théorie des probabilités et en statistiques, une loi Gamma généralisée est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives avec deux paramètres de forme (et un paramètre d'échelle), qui est une extension de la loi Gamma avec un paramètre de forme additionnel. Comme de nombreuses lois sont utilisées comme modèles paramétriques dans l'analyse de survie (telles que la loi exponentielle, la loi de Weibull et la loi Gamma) sont des cas particuliers de la loi Gamma généralisée, elle est parfois utilisée pour déterminer quel modèle paramétrique est adapté pour un jeu de données. Un autre exemple est la loi demi-normale.
La loi Gamma généralisée a deux paramètres de forme et , et un paramètre d'échelle . Pour x positif, la densité de probabilité est
avec désignant la fonction gamma.
La fonction de répartition est :
où désigne la fonction gamma incomplète et la fonction gamma incomplète régularisée.
La fonction quantile peut être définie en remarquant que où est la fonction de répartition de la loi Gamma de paramètres et . La fonction quantile se déduit donc par inversion de en utilisant les diverses fonctions réciproques, soit :
où est la fonction quantile d'une loi gamma pour .
Si alors la loi Gamma généralisée devient la loi de Weibull.
Si alors la loi Gamma généralisée devient la loi Gamma.
Si alors la loi Gamma généralisée devient la loi exponentielle.
Si et alors la loi Gamma généralisée devient la loi de Nakagami.
Si et alors la loi Gamma généralisée devient la loi demi-normale.
Si et alors la loi Gamma généralisée devient la loi demi-normale.
Si et alors la loi Gamma généralisée devient la Loi du χ à d degrés de liberté.
D'autres paramétrisations de cette loi sont parfois utilisées ; par exemple, en substituant α = d/p. On peut également ajouter un paramètre de position, de sorte qu'on décale le domaine de définition de x pour le faire commencer en un point différent de 0.
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