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Concept
Norme d'opérateur
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, une norme d'opérateur ou norme subordonnée est une norme définie sur l'espace des opérateurs bornés entre deux espaces vectoriels normés. Entre deux tels espaces, les opérateurs bornés ne sont autres que les applications linéaires continues.
Sur un corps K « valué » (au sens : muni d'une valeur absolue) et non discret (typiquement : K = R ou C), soient E et F deux espaces vectoriels normés respectivement munis des normes ‖ ‖ et ‖ ‖.
Soit f une application linéaire de E dans F. Considérons .
Si N < +∞, on dit que N est la norme de l'opérateur f, subordonnée à ‖ ‖ et ‖ ‖.
N est fini si et seulement s'il existe des réels C tels que, pour tout v ∈ E, ‖f(v)‖ ≤ C‖v‖ (autrement dit : tels que f soit C-lipschitzienne), et dans ce cas, N est égal au plus petit d'entre ces réels C.
Si N est fini alors f est N-lipschitzienne et par conséquent uniformément continue, donc continue, donc continue en 0. Réciproquement, si f est continue en 0, alors N est fini (la preuve, classique pour K = R ou C, se généralise).
N est fini si et seulement si l'image par f de toute partie bornée de E (ou simplement : de la boule unité) est bornée. Ceci explique le nom d'opérateurs bornés également donné aux applications linéaires continues de E dans F.
Dans l'espace des applications linéaires de E dans F, le sous-espace de celles qui sont continues peut donc être muni de la norme subordonnée. Alors, l'application bilinéaire est continue.
Si E est de dimension finie, toute application linéaire de E dans F est continue : .
si K = R ou C, N est aussi égal àEn dimension infinie, cette borne supérieure n'est pas toujours atteinte (cf. « Cas extrémal de l'inégalité de Hölder »).
Une norme d'opérateur satisfait les axiomes d'une norme, de sorte que l'espace des opérateurs linéaires bornés de E dans F est lui-même un espace normé. Il est complet si F est complet.
Deux normes distinctes interviennent ici : celle sur E et celle sur F. Même si E = F, il est possible de considérer deux normes distinctes sur ces espaces.
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