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Concept
Rang (algèbre linéaire)
Résumé
En algèbre linéaire :
le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Par exemple, pour une famille de vecteurs linéairement indépendants, son rang est le nombre de vecteurs ;
le rang d'une application linéaire de dans est la dimension de son , qui est un sous-espace vectoriel de . Le théorème du rang relie la dimension de , la dimension du noyau de et le rang de ;
le rang d'une matrice est le rang de l'application linéaire qu'elle représente, ou encore le rang de la famille de ses vecteurs colonnes ;
le rang d'un système d'équations linéaires est le nombre d'équations que compte tout système échelonné équivalent. Il est égal au rang de la matrice des coefficients du système.
Le rang d'une matrice (dont les coefficients appartiennent à un corps commutatif de scalaires, ), noté , est :
le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants ;
la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs lignes (ou colonnes) de ;
le plus grand des ordres des matrices carrées inversibles extraites de ;
le plus grand des ordres des mineurs non nuls de ;
la plus petite des tailles des matrices et dont le produit est égal à .
Tous ces nombres sont bien égaux.
On peut déterminer le rang en procédant à une élimination via la méthode de Gauss-Jordan et en examinant la forme échelonnée obtenue de cette manière.
Soit la matrice suivante :
On appelle les vecteurs formés par les quatre lignes de .
On voit que la est le double de la première ligne, donc le rang de est égal à celui de la famille .
On remarque aussi que la peut être formée en additionnant les lignes 1 et 3 (c'est-à-dire ). Donc le rang de est égal à celui de .
Les lignes 1 et 3 sont linéairement indépendantes (c'est-à-dire non proportionnelles). Donc est de rang 2.
Finalement, le rang de est 2.
Une autre manière est de calculer une forme échelonnée de cette matrice. Cette nouvelle matrice a le même rang que la matrice originale, et le rang correspond au nombre de ses lignes qui sont non nulles.
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