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Concept
Théorème du point fixe de Kakutani
Résumé
vignette|Exemple animé montrant des points x, et leurs images φ(x) par la fonction φ. L'animation finit par montrer un point x contenu dans φ(x).
En analyse mathématique, le théorème du point fixe de Kakutani est un théorème de point fixe qui généralise celui de Brouwer à des fonctions à valeurs ensemblistes. Il fournit une condition suffisante pour qu'une telle fonction, définie sur un compact convexe d'un espace euclidien, possède un point fixe, c'est-à-dire dans ce contexte : un point qui appartient à son par cette fonction.
Ce théorème a été démontré par Shizuo Kakutani en 1941 et popularisé par John Forbes Nash, qui l'a utilisé dans sa description de l'équilibre de Nash. Depuis, il a de nombreuses applications en théorie des jeux et en économie.
L'énoncé du théorème de Kakutani est le suivant :
Soient S un compact convexe non vide d'un espace euclidien et φ une application de S dans l’ensemble 2S des parties de S. Si le graphe de φ est fermé dans S×S et si, pour tout point x de S, φ(x) est un convexe non vide, alors φ possède un point fixe.
Dans cet énoncé, par définition :
le graphe de φ est l'ensemble des couples (x, y) de S×S tels que y ∈ φ(x) ;
un point fixe de φ est un élément x de S tel que x ∈ φ(x).
Certaines sources, dont l'article original de Kakutani, font intervenir la notion d'hémicontinuité supérieure, définie par :
Une application φ : X → 2Y est hémicontinue supérieurement si pour tout ouvert W de Y, l'ensemble des points x pour lesquels φ(x) est inclus dans W est un ouvert de X.
Le théorème peut alors se reformuler en :
Soient S un compact convexe non vide d'un espace euclidien et φ : S → 2S une application hémicontinue supérieurement. Si, pour tout point x de S, φ(x) est un convexe fermé non vide, alors φ possède un point fixe.
Cette variante est équivalente à l'énoncé précédent car, d'après le théorème du graphe fermé pour les fonctions à valeurs ensemblistes, pour tout compact Y, le graphe d'une application φ : X → 2Y est fermé si et seulement si φ est hémicontinue supérieurement et tous les φ(x) sont fermés.
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