Théorèmes d'isomorphismeEn mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes. Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Anneau quotient », « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ». Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes , on peut rendre injectif en quotientant par son noyau Ker f, qui est un sous-groupe normal de G.
Cancellation propertyIn mathematics, the notion of cancellativity (or cancellability) is a generalization of the notion of invertibility. An element a in a magma (M, ∗) has the left cancellation property (or is left-cancellative) if for all b and c in M, a ∗ b = a ∗ c always implies that b = c. An element a in a magma (M, ∗) has the right cancellation property (or is right-cancellative) if for all b and c in M, b ∗ a = c ∗ a always implies that b = c. An element a in a magma (M, ∗) has the two-sided cancellation property (or is cancellative) if it is both left- and right-cancellative.
Structure algébriqueEn mathématiques, une structure algébrique est définie axiomatiquement par une ou plusieurs opérations sur un ensemble (dites internes), éventuellement muni d’autres opérations (externes) dépendant d’autres ensembles, toutes ces opérations satisfaisant certaines relations telles que l’associativité, la commutativité ou la distributivité. La structure de groupe qui émerge progressivement au , avec une seule opération interne et quelques propriétés se formalise au début du avec une kyrielle de structures d’algèbre générale moins restrictives (monoïde) ou au contraire enrichies par une seconde opération (anneau, corps, algèbre de Boole.
IdempotenceEn mathématiques et en informatique, l'idempotence signifie qu'une opération a le même effet qu'on l'applique une ou plusieurs fois. Par exemple, la valeur absolue est idempotente : , les deux membres étant égaux à 5. On retrouve ce concept en algèbre générale, en particulier dans la théorie des opérateurs de projection et des opérateurs de clôture, mais aussi en informatique, en particulier en programmation fonctionnelle. Un élément x d'un magma (M, •) est dit idempotent si : x • x = x.
Algèbre universelleL'algèbre universelle est la branche de l'algèbre qui a pour but de traiter de manière générale et simultanée les différentes structures algébriques : groupes, monoïdes, anneaux, espaces vectoriels, etc. Elle permet de définir de manière uniforme les morphismes, les sous-structures (sous-groupes, sous-monoïdes, sous-anneaux, sous-espaces vectoriels, etc.), les quotients, les produits et les objets libres pour ces structures.
Variété (algèbre)En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe). Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi interne * associative et d'un élément neutre. Ainsi, pour tous éléments x, y, z d'un monoïde, les équations suivantes sont vérifiées : (x * y) * z = x * (y * z) x * e = x e * x = x De plus, ces trois équations caractérisent la notion de monoïde.
Table de CayleyUne table de Cayley est un tableau à double entrée. Lorsqu'un ensemble fini E est muni d'une loi de composition interne •, il est possible de créer un tableau qui présente, pour tous les éléments a et b de E, les résultats obtenus par cette loi • : à l'intersection de la ligne représentant a et de la colonne b se trouve a•b. Le tableau ainsi constitué est appelé table de Cayley du magma (E,•). Cette présentation est semblable à la table de multiplication et à la table d'addition des écoliers.
Demi-groupe de transformationsEn algèbre, un demi-groupe de transformations est un ensemble de fonctions d'un ensemble X dans lui-même qui est fermé pour l'opération de composition. S'il contient l'application identité, c'est un monoïde de transformations. C'est l'analogue, pour les demi-groupes, d'un groupe de permutations. Un analogue du théorème de Cayley vaut pour les demi-groupes : tout demi-groupe est isomorphe à un demi-groupe de transformations sur un ensemble. Un demi-groupe de transformations est un couple , où est un ensemble, et est un demi-groupe de transformations sur .
Opposé (mathématiques)En mathématiques, lopposé d'un élément x (s'il existe) est le nom donné à l'élément symétrique, lorsque la loi est notée additivement. Dans le cas réel, il s'agit du nombre qui, ajouté par x, donne 0. On le note –x. Par exemple : l’opposé de 7 est égal à –7 car 7 + (–7) = 0 l’opposé de -0,3 est 0,3 car –0,3 + 0,3 = 0. Ainsi d’après le dernier exemple, –(–0,3) = 0,3. Plus généralement, si E est un ensemble muni d’une loi interne d’addition associative et commutative, l’opposé d’un élément x de E est le symétrique (s’il existe) de cet élément, et est noté en général –x.
Sous-groupeUn sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e. Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire ∗. Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.
