Théorie de MorseEn mathématiques, et plus précisément en topologie différentielle, la théorie de Morse est un ensemble de techniques et de méthodes mises en place durant la seconde moitié du , permettant d'étudier la topologie d'une variété différentielle en analysant les lignes de niveau d'une fonction définie sur cette variété. Le premier résultat d'importance est le lemme de Morse, qui donne le lien entre points critiques d'une fonction suffisamment générale et modification de la topologie de la variété.
Application momentEn géométrie symplectique, aux actions hamiltoniennes d'un groupe de Lie sur une variété symplectique est associée une application G-équivariante , appelée l'application moment. En un certain sens, elle généralise le moment rencontré en mécanique classique. L'application moment est définie par : où est le champ de vecteurs correspondant à l'action infinitésimale de . Action de groupe Action hamiltonienne Symplectomorphisme Difféomorphisme hamiltonien Contribution à l'étude de l'application moment, EL AZIRI Abdelhamid ; MARLE Charles-Miche Convexity properties of hamiltonian group actions, Principal Guillemin, Victor W.
Géométrie de contactLa géométrie de contact est la partie de la géométrie différentielle qui étudie les formes et structures de contact. Elle entretient d'étroits liens avec la géométrie symplectique, la géométrie complexe, la théorie des feuilletages de codimension 1 et les systèmes dynamiques. La géométrie de contact classique est née de l'étude de la thermodynamique et de l'optique géométrique. Une structure de contact sur une variété est un champ d'hyperplans c'est-à-dire la donnée, en tout point de la variété, d'un hyperplan dans l'espace tangent.
Système intégrableEn mécanique hamiltonienne, un système intégrable au sens de Liouville est un système qui possède un nombre suffisant de indépendantes. Lorsque le mouvement est borné, la dynamique est alors périodique ou quasi périodique. Soit un système à N degrés de liberté qui est décrit à l'instant par : les N coordonnées généralisées les N moments conjugués . À chaque instant, les 2N coordonnées définissent un point dans l'espace des phases Γ = R2N. L'évolution dynamique du système sous le flot hamiltonien se traduit par une courbe continue appelée orbite dans cet espace des phases.
Mécanique analytiqueLa mécanique analytique est une formulation de la mécanique classique basée sur le calcul variationnel. La mécanique analytique s'est avérée un outil très important en physique théorique. En particulier, la mécanique quantique emprunte énormément au formalisme de la mécanique analytique. Contrairement à la mécanique d'Isaac Newton qui s'appuie sur le concept de point matériel, la mécanique analytique se penche sur les systèmes arbitrairement complexes, et étudie l'évolution de leurs degrés de libertés dans ce qu'on appelle un espace de configuration.
Mécanique hamiltonienneLa mécanique hamiltonienne est une reformulation de la mécanique newtonienne. Son formalisme a facilité l'élaboration théorique de la mécanique quantique. Elle a été formulée par William Rowan Hamilton en 1833 à partir des équations de Lagrange, qui reformulaient déjà la mécanique classique en 1788. En mécanique lagrangienne, les équations du mouvement d'un système à N degrés de liberté dépendent des coordonnées généralisées et des vitesses correspondantes , où .
Arnold conjectureThe Arnold conjecture, named after mathematician Vladimir Arnold, is a mathematical conjecture in the field of symplectic geometry, a branch of differential geometry. Let be a compact symplectic manifold. For any smooth function , the symplectic form induces a Hamiltonian vector field on , defined by the identity The function is called a Hamiltonian function. Suppose there is a 1-parameter family of Hamiltonian functions , inducing a 1-parameter family of Hamiltonian vector fields on .
Generalized complex structureIn the field of mathematics known as differential geometry, a generalized complex structure is a property of a differential manifold that includes as special cases a complex structure and a symplectic structure. Generalized complex structures were introduced by Nigel Hitchin in 2002 and further developed by his students Marco Gualtieri and Gil Cavalcanti.
