AntichaîneEn mathématiques, plus précisément en théorie des ordres, une antichaîne est une partie d'un ensemble partiellement ordonné dont les éléments sont deux à deux incomparables. (Par opposition aux chaînes qui forment parties d'un ensemble dont les éléments sont toujours deux à deux comparables.) Dit autrement, soit E un ensemble muni d'une relation d'ordre ≤, un sous-ensemble A est une antichaîne de E si pour tout x,y de A, Une antichaîne est dite maximale si elle n'est incluse (strictement) dans aucune autre antichaîne.
Conditions de chaîneLes conditions de chaîne (ascendante et descendante) sont deux propriétés mathématiques sur les ordres, identifiées initialement par Emmy Noether dans le contexte de l'algèbre commutative. Sur un ensemble partiellement ordonné (V, ≤), la condition de chaîne ascendante désigne la propriété suivante : toute suite croissante (xn)n ∈ N d'éléments de V est stationnaire, c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang (il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N, xn = xN) ou également la propriété (équivalente car il s'agit d'une relation d'ordre) V ne contient pas de suite infinie strictement croissante.
Diagramme de HasseEn mathématiques, le diagramme de Hasse, du nom du mathématicien allemand Helmut Hasse, est une représentation visuelle d'un ordre fini. Similaire à la représentation habituelle d’un graphe sur papier, il en facilite la compréhension. Dans un diagramme de Hasse : Les éléments ordonnés sont représentés par des points. La relation entre deux éléments est représentée par un segment entre deux points. Si un élément x est ≤ à un autre élément y, alors le point représentant x est placé plus bas que celui pour y.
Suite généraliséeEn mathématiques, la notion de suite généralisée, ou suite de Moore-Smith, ou filet, étend celle de suite, en indexant les éléments d'une famille par des éléments d'un ensemble ordonné filtrant qui n'est plus nécessairement celui des entiers naturels. Pour tout ensemble X, une suite généralisée d'éléments de X est une famille d'éléments de X indexée par un ensemble ordonné filtrant A. Par filtrant (à droite), on entend que toute paire dans A possède un majorant dans A. Soit un filet dans un ensemble E et, pour tout , .
Relation bien fondéeEn mathématiques, une relation bien fondée (encore appelée relation noethérienne ou relation artinienne) est une relation binaire vérifiant l'une des deux conditions suivantes, équivalentes d'après l'axiome du choix dépendant (une version faible de l'axiome du choix) : pour toute partie non vide X de E, il existe un élément x de X n'ayant aucun R-antécédent dans X (un R-antécédent de x dans X est un élément y de X vérifiant yRx) ; condition de chaîne descendante : il n'existe pas de suite infinie (xn) d'élém
Weak orderingIn mathematics, especially order theory, a weak ordering is a mathematical formalization of the intuitive notion of a ranking of a set, some of whose members may be tied with each other. Weak orders are a generalization of totally ordered sets (rankings without ties) and are in turn generalized by (strictly) partially ordered sets and preorders.
Product orderIn mathematics, given a partial order and on a set and , respectively, the product order (also called the coordinatewise order or componentwise order) is a partial ordering on the Cartesian product Given two pairs and in declare that if and Another possible ordering on is the lexicographical order, which is a total ordering. However the product order of two total orders is not in general total; for example, the pairs and are incomparable in the product order of the ordering with itself.
