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Concept
Théorème
Résumé
En mathématiques et en logique, un théorème (du grec théorêma, objet digne d'étude) est une assertion qui est démontrée, c'est-à-dire établie comme vraie à partir d'autres assertions déjà démontrées (théorèmes ou autres formes d'assertions) ou des assertions acceptées comme vraies, appelées axiomes. Un théorème se démontre dans un système déductif et est une conséquence logique d'un système d'axiomes. En ce sens, il se distingue d'une loi scientifique, obtenue par l'expérimentation.
Traditionnellement, un théorème était présenté comme une structure constituée des éléments suivants :
les hypothèses : c'est-à-dire des conditions de base qui sont énumérées dans le théorème en plus des éléments déjà établis dans le cadre de la théorie ;
une thèse également appelée conclusion : c'est-à-dire une affirmation mathématique ou logique que le théorème démontre comme vraie sous les hypothèses de base.
la démonstration : comme un théorème peut parfois être démontré de plusieurs façons très différentes (voir l'exemple des multiples démonstrations du théorème de Pythagore), seul le fait que la démonstration existe est constituant du théorème, mais pas le détail de cette démonstration. Une démonstration est un enchaînement d'inférences logiques faisant intervenir les axiomes de la théorie sous-jacente, les hypothèses du théorème, et des résultats précédemment établis dans le cadre de cette théorie.
Au sens large toute assertion effectivement démontrée peut prendre le nom de théorème. Dans les ouvrages de mathématiques, il est cependant d'usage de réserver ce terme aux affirmations considérées comme nouvelles ou particulièrement intéressantes ou importantes. Selon leur importance, ou leur utilité, les autres assertions peuvent prendre des noms différents :
lemme : assertion servant d'intermédiaire pour démontrer un théorème plus important ;
corollaire : résultat qui découle directement d’un théorème prouvé ; on trouve aussi, dans les ouvrages anciens, le terme scholie.
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