Quasi-isometryIn mathematics, a quasi-isometry is a function between two metric spaces that respects large-scale geometry of these spaces and ignores their small-scale details. Two metric spaces are quasi-isometric if there exists a quasi-isometry between them. The property of being quasi-isometric behaves like an equivalence relation on the class of metric spaces. The concept of quasi-isometry is especially important in geometric group theory, following the work of Gromov.
Théorie géométrique des groupesLa théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces. Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié.
Théorie combinatoire des groupesEn mathématiques, la théorie combinatoire des groupes est la théorie des groupes libres et des présentations d'un groupe par générateurs et relations. Elle est très utilisée en topologie géométrique, le groupe fondamental d'un complexe simplicial héritant, d'une façon naturelle et géométrique, d'une telle présentation. Elle est aujourd'hui englobée en grande partie par la théorie géométrique des groupes, qui utilise de plus des techniques extérieures à la combinatoire.
Problème de BurnsideEn mathématiques, le problème de Burnside est l'une des questions les plus anciennes et qui a eu le plus d'influence en théorie des groupes. En 1902, William Burnside demanda si un groupe de torsion de type fini est nécessairement fini. Cette conjecture fut réfutée soixante ans plus tard, ainsi que sa variante « bornée », tandis que sa variante « restreinte » a été démontrée, plus récemment, par Efim Zelmanov. De nombreux problèmes sur ces sujets sont encore ouverts aujourd'hui.
Max DehnMax Dehn ( – ) est un mathématicien allemand. Il a étudié les fondements de la géométrie avec Hilbert à Göttingen en 1899, et obtenu une preuve du théorème de Jordan pour les polygones. En 1900, il a soutenu sa thèse sur le rôle du dans la géométrie axiomatique. En 1900, il a aussi résolu le troisième problème de Hilbert. Il était en poste de 1900 à 1911 à l'université de Münster. Ses intérêts se tournent ensuite vers la topologie et la théorie combinatoire des groupes.
Problème du mot pour les groupesEn mathématiques, plus précisément dans le domaine de la théorie combinatoire des groupes, le problème du mot pour un groupe de type fini G est le problème algorithmique de décider si deux mots en les générateurs du groupe représentent le même élément. Plus précisément, si X un ensemble fini de générateurs pour G, on considère le langage formel constitué des mots sur X et son ensemble d'inverses formels qui sont envoyés par l'application naturelle sur l'identité du groupe G.
Linear groupIn mathematics, a matrix group is a group G consisting of invertible matrices over a specified field K, with the operation of matrix multiplication. A linear group is a group that is isomorphic to a matrix group (that is, admitting a faithful, finite-dimensional representation over K). Any finite group is linear, because it can be realized by permutation matrices using Cayley's theorem. Among infinite groups, linear groups form an interesting and tractable class.
Réseau (sous-groupe discret)En théorie des groupes le terme réseau désigne un sous-groupe d'un groupe topologique localement compact vérifiant les conditions suivantes : est discret dans , ce qui est équivalent à la condition qu'il existe un voisinage ouvert de l'identité de tel que ; est de covolume fini dans , c'est-à-dire qu'il existe sur l'espace quotient une mesure Borélienne de masse totale finie et invariante par (agissant par translations à droite). Un réseau est dit uniforme quand le quotient est compact. On dit alors que est un réseau de .
GéométrieLa géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne ). Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique.
Small cancellation theoryIn the mathematical subject of group theory, small cancellation theory studies groups given by group presentations satisfying small cancellation conditions, that is where defining relations have "small overlaps" with each other. Small cancellation conditions imply algebraic, geometric and algorithmic properties of the group. Finitely presented groups satisfying sufficiently strong small cancellation conditions are word hyperbolic and have word problem solvable by Dehn's algorithm.
