Concept
Ultrafiltre
Concepts associés (17)
Ultrafilter on a set
In the mathematical field of set theory, an ultrafilter on a set is a maximal filter on the set In other words, it is a collection of subsets of that satisfies the definition of a filter on and that is maximal with respect to inclusion, in the sense that there does not exist a strictly larger collection of subsets of that is also a filter. (In the above, by definition a filter on a set does not contain the empty set.) Equivalently, an ultrafilter on the set can also be characterized as a filter on with the property that for every subset of either or its complement belongs to the ultrafilter.
Théorème de compacité
vignette|420x420px|Si toute partie finie d'une théorie est satisfaisable (schématisée à gauche), alors la théorie est satisfaisable (schématisée à droite). En logique mathématique, un théorème de compacité énonce que si toute partie finie d'une théorie est satisfaisable alors la théorie elle-même est satisfaisable. Il existe des logiques où il y a un théorème de compacité comme le calcul propositionnel ou la logique du premier ordre (on parle de logiques compactes). Il existe aussi des logiques sans théorème de compacité.
Ultraproduit
En mathématiques, un ultraproduit est une construction basée sur un ultrafiltre utilisée principalement en algèbre abstraite et en théorie des modèles (une branche de la logique mathématique) ; elle permet par exemple d'obtenir des extensions des réels, les nombres hyperréels, ayant les mêmes propriétés élémentaires que ceux-ci. La méthode générale de construction d'ultraproduits part d'un ensemble d'indices I, d'une structure Mi pour chaque élément i de I (toutes ayant la même signature), et d'un ultrafiltre U sur I.
Théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole
En mathématiques, un théorème de l'idéal premier garantit l'existence de certains types de sous-ensembles dans une algèbre. Un exemple courant est le théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole, qui énonce que tout idéal d'une algèbre de Boole est inclus dans un idéal premier. Une variante de cet énoncé pour filtres sur des ensembles est connue comme le théorème de l'ultrafiltre.
Nombre hyperréel
vignette|Représentation des infinitésimaux (ε) et infinis (ω) sur la droite des nombres hyperréels (1/ε = ω)|520x520px En mathématiques, le corps ordonné des nombres hyperréels constitue une extension, notée *R, des nombres réels usuels, permettant de donner un sens rigoureux aux notions de quantité infiniment petite ou infiniment grande. On peut éviter alors l'emploi des passages à la limite et des expressions conditionnées par une valeur ε « aussi petite que l’on veut ».
Filtre (mathématiques)
En mathématiques, et plus particulièrement en topologie générale, un filtre est une structure définie sur un ensemble, et permettant d'étendre la notion de limite aux situations les plus générales. La théorie des filtres a été inventée, en 1937, par Henri Cartan et utilisée par Bourbaki. Les filtres ont permis en particulier une démonstration élégante du théorème de Tychonov.
Topologie cofinie
La topologie cofinie est la topologie que l'on peut définir sur tout ensemble X de la manière suivante : l'ensemble des ouverts est constitué de l'ensemble vide et parties de X cofinies, c'est-à-dire dont le complémentaire dans X est fini. Formellement, si l'on note τ la topologie cofinie sur X, on a : ou plus simplement, en définissant la topologie via les fermés : les fermés de X sont X et ses parties finies. La topologie induite sur une partie Y de X est la topologie cofinie sur Y.
Filter (set theory)
In mathematics, a filter on a set is a family of subsets such that: and if and , then If , and , then A filter on a set may be thought of as representing a "collection of large subsets", one intuitive example being the neighborhood filter. Filters appear in order theory, model theory, and set theory, but can also be found in topology, from which they originate. The dual notion of a filter is an ideal.
Filtre de Fréchet
En topologie, le filtre de Fréchet, nommé d'après Maurice René Fréchet, est le filtre sur N constitué des complémentaires des parties finies de N. Ce filtre est engendré par la base de filtre constituée des sections finissantes S(k) = { i ∈ N | i ≥ k }, k = 0, 1, 2.... Plus généralement, le filtre de Fréchet sur un ensemble infini X est l'ensemble des parties cofinies de X. Il ne diffère alors de la topologie cofinie sur X que par l'absence de l'ensemble vide.
Forcing
En mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le forcing est une technique inventée par Paul Cohen pour prouver des résultats de cohérence et d'indépendance en théorie des ensembles. Elle a été utilisée pour la première fois en 1962 pour prouver l'indépendance de l'hypothèse du continu vis-à-vis de la théorie ZFC. Combinée avec la technique des modèles de permutation de Fraenkel-Mostowski-Specker, elle a permis également d'établir l'indépendance de l'axiome du choix relativement à ZF.