Pavage du plan

thumb|Pavage constitué de triangles équilatéraux et d'hexagones, dit pavage trihexagonal. thumb|Pavage hexagonal de tomettes provençales en terre cuite. Un pavage du plan est un ensemble de portions du plan, par exemple des polygones, dont l'union est le plan tout entier, sans recouvrement. Plus précisément, c'est une partition du plan euclidien par des éléments d'un ensemble fini, appelés « carreaux » (plus précisément, ce sont des compacts d’intérieur non vide). Généralement, on considère des pavages « par translations », c’est-à-dire que deux mêmes carreaux du pavage sont toujours déductibles l’un de l’autre par une translation (à l’exclusion des rotations ou symétries). On peut aussi paver un plan non euclidien : voir Pavage d'un espace non euclidien. Une question apparemment anodine concerne le nombre de couleurs nécessaire au coloriage des différentes portions de plan (ou régions), de telle sorte que deux régions limitrophes (c'est-à-dire, ayant une frontière commune) ne reçoivent pas la même couleur. On sait depuis longtemps qu'en pratique il suffit de quatre couleurs, mais c'est une conjecture énoncée en 1852 qui n'a été démontrée qu'en 1976 (théorème des quatre couleurs). Les pavages périodiques du plan ou de l’espace sont connus depuis l’Antiquité et ont souvent été utilisés comme motifs décoratifs en architecture. En cristallographie, ces pavages modélisent les arrangements périodiques d’atomes (cristaux). En 1891, le cristallographe et mathématicien russe Evgraf Fedorov a montré qu’il existait seulement de groupes cristallographiques du plan (groupes d’isométries contenant un sous-groupe discret bidimensionnel de translations). Par la suite, Heinrich Heesch a montré en 1968 qu’il existait de pavés (ou carreaux). Toutefois, cette classification peut être améliorée car certains des sont des cas particuliers d’autres. En fait, à chacun des groupes cristallographiques, à deux exceptions près, correspond un seul type de pavé. À chacune de ces exceptions (pg et pgg) sont associés de pavés.