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Concept
Singularité isolée
Résumé
vignette|Tracé tridimensionnel de la valeur absolue de la fonction gamma complexe
En analyse complexe, une singularité isolée (appelée aussi point singulier isolé) d'une fonction holomorphe f est un point a du plan complexe, tel qu'il existe un voisinage ouvert U de a tel que f soit holomorphe sur U \ {a}.
L'étude des singularités isolées d'une fonction holomorphe est fondamentale dans le calcul des résidus, notamment pour le théorème des résidus.
Les singularités isolées sont à distinguer d'autres singularités apparaissant en analyse complexe, comme les points de branchement et les coupures qui sont associées, comme c'est le cas pour les logarithmes complexes et les racines n-ièmes.
Les singularités isolées se classent en trois types : singularités effaçables (parfois appelées singularités apparentes), pôles et singularités essentielles.
Considérons un ouvert du plan complexe, un point de et une fonction holomorphe. Le point est par définition une singularité isolée (ou point singulier isolé). Trois cas peuvent alors se produire.
La singularité de est dite effaçable (ou apparente) si se prolonge au voisinage de en une fonction holomorphe. Autrement dit, on peut « effacer » la singularité et étendre en une fonction holomorphe définie au voisinage de , que l'on note toujours en général, et de manière abusive, .
Les implications 1⇒2⇒3⇒4 étant immédiates, démontrons 4⇒1. On peut supposer et se placer sur le disque épointé de centre 0 et de rayon r. On considère donc une fonction holomorphe sur et on suppose que . On définit une fonction auxiliaire , sur le disque de centre 0 et de rayon r, par :.D'après les hypothèses, est holomorphe sur et dérivable en 0 (avec ). Par conséquent, est holomorphe sur ; elle est donc développable en série entière au voisinage de 0 (le rayon de convergence de la série est au moins égal à r) :
et les deux premiers coefficients sont et .
La série entière
qui a même rayon de convergence que la précédente, définit alors un prolongement holomorphe de au voisinage de 0.
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