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Concept
Singularité (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, une singularité est en général un point, une valeur ou un cas dans lequel un certain objet mathématique n'est pas bien défini ou bien subit une transition. Ce terme peut donc avoir des significations très différentes en fonction du contexte. Par exemple, dans l'analyse élémentaire, on dit que . En théorie des singularités, le terme prend un sens différent. On dit, par exemple,
En algèbre linéaire, une matrice carrée est dite singulière si elle n'est pas inversible. Par conséquent, un système d'équations représenté par une matrice singulière n'admet pas de solution unique, car on ne peut pas l'inverser. Aussi, le déterminant de la matrice est nul.
Singularité isolée
En analyse complexe, il existe plusieurs types de singularités. La configuration la plus simple consiste à se placer sur un sous-ensemble ouvert U de , avec a un élément de U et f une fonction holomorphe définie sur U{a}.
Le point a est une singularité apparente de f s'il existe une fonction g holomorphe sur tout U et non nulle en a telle que
Le point a est un pôle d'ordre n de f s'il existe une fonction holomorphe sur U, g, non nulle en a telle que :
Le point a est une singularité essentielle de f si ce n'est ni une singularité apparente, ni un pôle.
Il est possible d'effectuer au voisinage de a un développement en série de Laurent, et de décrire la nature de la singularité à partir de celui-ci.
Par ailleurs il est possible d'observer un autre type de singularité, qu'on trouve par exemple en cherchant à définir une fonction racine n ou un logarithme complexes : c'est le point de branchement. Il se produit quand le principe de prolongement analytique conduit à plusieurs déterminations d'une même fonction multiforme. La singularité est le point autour duquel il faut tourner pour passer d'une détermination à une autre. La notion de surface de Riemann associée à la fonction multiforme permet de ramener ce problème à un problème de singularité pour une application de projection.
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