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Concept
Théorie des représentations d'un groupe fini
Résumé
vignette|Ferdinand Georg Frobenius, fondateur de la théorie de la représentation des groupes.
En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, la théorie des représentations d'un groupe fini traite des représentations d'un groupe G dans le cas particulier où G est un groupe fini.
Cet article traite de l'aspect mathématique et, de même que l'article de synthèse « Représentations d'un groupe fini », n'aborde que les représentations linéaires de G (par opposition aux représentations projectives ou ). Ce sont les actions linéaires de G sur un espace vectoriel V de dimension finie, ou encore, les morphismes de G vers le groupe général linéaire GL(V) des automorphismes de V.
Représentation de groupe
Dans tout l'article, G désigne un groupe fini d'ordre g, noté multiplicativement. Son élément neutre est noté 1. V désigne un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K. Le corps des nombres complexes est noté C.
Hypothèses sur le corps.
On supposera toujours que la caractéristique de K ne divise pas g et que le polynôme Xg - 1 est scindé sur K (ou même seulement le polynôme Xe - 1, où e désigne l'exposant de G). Ces hypothèses peuvent être retranchées . Si elle devient différente, les résultats sur les algèbres semi-simples permettent néanmoins de dans de .
Une représentation du groupe G est la donnée d'un espace vectoriel V et d'un morphisme de groupes ρ de G vers le groupe linéaire GL(V), c'est-à-dire une applicationUne représentation est notée (V, ρ) ou parfois et abusivement V. Les notations ρ(s) (v) ou ρs.v ou même s.v désignent l'action d'un élément s du groupe G sur vecteur v de V.
La représentation est dite fidèle si le morphisme ρ est injectif.
La dimension de V est appelée degré de la représentation.
Une représentation de degré n est dite matricielle si V = Kn, auquel cas le groupe (GL(V), ∘) s'identifie canoniquement au groupe GLn(K) des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K inversibles, muni du produit matriciel.
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