vignette|Ferdinand Georg Frobenius, fondateur de la théorie de la représentation des groupes.
En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, la théorie des représentations d'un groupe fini traite des représentations d'un groupe G dans le cas particulier où G est un groupe fini.
Cet article traite de l'aspect mathématique et, de même que l'article de synthèse « Représentations d'un groupe fini », n'aborde que les représentations linéaires de G (par opposition aux représentations projectives ou ). Ce sont les actions linéaires de G sur un espace vectoriel V de dimension finie, ou encore, les morphismes de G vers le groupe général linéaire GL(V) des automorphismes de V.
Représentation de groupe
Dans tout l'article, G désigne un groupe fini d'ordre g, noté multiplicativement. Son élément neutre est noté 1. V désigne un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K. Le corps des nombres complexes est noté C.
Hypothèses sur le corps.
On supposera toujours que la caractéristique de K ne divise pas g et que le polynôme Xg - 1 est scindé sur K (ou même seulement le polynôme Xe - 1, où e désigne l'exposant de G). Ces hypothèses peuvent être retranchées . Si elle devient différente, les résultats sur les algèbres semi-simples permettent néanmoins de dans de .
Une représentation du groupe G est la donnée d'un espace vectoriel V et d'un morphisme de groupes ρ de G vers le groupe linéaire GL(V), c'est-à-dire une applicationUne représentation est notée (V, ρ) ou parfois et abusivement V. Les notations ρ(s) (v) ou ρs.v ou même s.v désignent l'action d'un élément s du groupe G sur vecteur v de V.
La représentation est dite fidèle si le morphisme ρ est injectif.
La dimension de V est appelée degré de la représentation.
Une représentation de degré n est dite matricielle si V = Kn, auquel cas le groupe (GL(V), ∘) s'identifie canoniquement au groupe GLn(K) des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K inversibles, muni du produit matriciel.
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En théorie des groupes, une fonction centrale est une application définie sur un groupe et constante le long de ses classes de conjugaison. Les fonctions centrales à valeurs complexes interviennent dans l'étude des représentations d'un groupe compact ; les fonctions centrales complexes de carré intégrable apparaissent comme les éléments du centre de son , d'où leur nom. Une application définie sur un groupe G est dite centrale si pour tous s et t dans G, on a : ou encore (via la bijection (s,t)↦(u=st,v=s −1)) Pour tout corps K, le groupe G agit naturellement à droite sur l'espace vectoriel KG des applications de G dans K par : s.
Les tableaux de Young sont des objets combinatoires qui jouent un rôle important en théorie des représentations des groupes et dans la théorie des fonctions symétriques. Ils permettent en particulier de construire les représentations irréductibles du groupe symétrique, ainsi que celles du groupe général linéaire sur le corps des complexes. Les tableaux de Young ont été introduits par Alfred Young, un mathématicien de l'université de Cambridge, en 1900. Ils ont été appliqués à l'étude du groupe symétrique par Georg Frobenius en 1903.
En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, le lemme de Schur est un lemme technique utilisé particulièrement dans la théorie de la représentation des groupes. Il a été démontré en 1907 par Issai Schur dans le cadre de ses travaux sur la théorie des représentations d'un groupe fini. Ce lemme est à la base de l'analyse d'un caractère d'une représentation d'un groupe fini ; il permet, par exemple, de caractériser les groupes abéliens finis.
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Omnidirectional video streaming is usually implemented based on the representations of tiles, where the tiles are obtained by splitting the video frame into several rectangular areas and each tile is converted into multiple representations with different r ...