Corps de décompositionEn mathématiques et plus précisément en algèbre dans la théorie des corps commutatifs, un corps de décomposition, ou parfois corps des racines ou encore corps de déploiement, d'un polynôme P non nul est une extension de corps minimale sur laquelle P est scindé. On montre qu'un polynôme non nul possède toujours un corps de décomposition, unique à isomorphisme près, et que celui-ci est une extension finie et normale. Si de plus le polynôme est séparable, c'est une extension de Galois.
Separable polynomialIn mathematics, a polynomial P(X) over a given field K is separable if its roots are distinct in an algebraic closure of K, that is, the number of distinct roots is equal to the degree of the polynomial. This concept is closely related to square-free polynomial. If K is a perfect field then the two concepts coincide. In general, P(X) is separable if and only if it is square-free over any field that contains K, which holds if and only if P(X) is coprime to its formal derivative D P(X).
Extension de GaloisEn mathématiques, une extension de Galois (parfois nommée extension galoisienne) est une extension normale séparable. L'ensemble des automorphismes de l'extension possède une structure de groupe appelée groupe de Galois. Cette structure de groupe caractérise l'extension, ainsi que ses sous-corps. Les extensions de Galois sont des structures largement utilisées pour la démonstration de théorèmes en théorie algébrique des nombres, comme le dernier théorème de Fermat, ou en théorie de Galois pure, comme le théorème d'Abel-Ruffini.
Corps parfaitEn mathématiques et plus particulièrement en algèbre dans le contexte de la théorie de Galois, un corps parfait est un corps commutatif dont toutes les extensions algébriques sont séparables. Les corps parfaits sont utiles pour la théorie de Galois, car les théorèmes fondateurs, comme le théorème de l'élément primitif ou le théorème fondamental de la théorie de Galois utilisent dans les hypothèses le fait que l'extension considérée est séparable.
Tensor product of fieldsIn mathematics, the tensor product of two fields is their tensor product as algebras over a common subfield. If no subfield is explicitly specified, the two fields must have the same characteristic and the common subfield is their prime subfield. The tensor product of two fields is sometimes a field, and often a direct product of fields; In some cases, it can contain non-zero nilpotent elements. The tensor product of two fields expresses in a single structure the different way to embed the two fields in a common extension field.
Transcendental extensionIn mathematics, a transcendental extension is a field extension such that there exists an element in the field that is transcendental over the field ; that is, an element that is not a root of any univariate polynomial with coefficients in . In other words, a transcendental extension is a field extension that is not algebraic. For example, are both transcendental extensions of A transcendence basis of a field extension (or a transcendence basis of over ) is a maximal algebraically independent subset of over Transcendence bases share many properties with bases of vector spaces.
Théorème fondamental de la théorie de GaloisEn mathématiques et plus précisément en algèbre commutative, le théorème fondamental de la théorie de Galois établit une correspondance entre les extensions intermédiaires d'une extension finie de corps et leurs groupes de Galois, dès lors que l'extension est galoisienne, c’est-à-dire séparable et normale. Soient L une extension galoisienne finie de K et G son groupe de Galois. Pour tout sous-groupe H de G, on note LH le sous-corps de L constitué des éléments fixés par chaque élément de H.
Polynomial greatest common divisorIn algebra, the greatest common divisor (frequently abbreviated as GCD) of two polynomials is a polynomial, of the highest possible degree, that is a factor of both the two original polynomials. This concept is analogous to the greatest common divisor of two integers. In the important case of univariate polynomials over a field the polynomial GCD may be computed, like for the integer GCD, by the Euclidean algorithm using long division. The polynomial GCD is defined only up to the multiplication by an invertible constant.
Formal derivativeIn mathematics, the formal derivative is an operation on elements of a polynomial ring or a ring of formal power series that mimics the form of the derivative from calculus. Though they appear similar, the algebraic advantage of a formal derivative is that it does not rely on the notion of a limit, which is in general impossible to define for a ring. Many of the properties of the derivative are true of the formal derivative, but some, especially those that make numerical statements, are not.
Endomorphisme de FrobeniusEn mathématiques, l'endomorphisme de Frobenius, nommé ainsi en l'honneur de Georg Ferdinand Frobenius, est un endomorphisme d'anneau commutatif défini de façon naturelle à partir de la caractéristique. Il est particulièrement utilisé dans le contexte de la théorie de Galois, soit dans le cas des corps de caractéristique non nulle et plus spécifiquement dans le cas des corps finis et dans la théorie des corps de classes. Si le corps est fini, il s'agit alors d'un automorphisme.
