Corps de nombresEn mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Extension séparableEn mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, une extension L d'un corps K est dite séparable si elle est algébrique et si le polynôme minimal de tout élément de L n'admet que des racines simples (dans une clôture algébrique de K). La séparabilité est une des propriétés des extensions de Galois. Toute extension finie séparable satisfait le théorème de l'élément primitif. Les corps dont toutes les extensions algébriques sont séparables (c'est-à-dire les corps parfaits) sont nombreux.
Produit tensoriel de deux modulesLe produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de l'analyse fonctionnelle, de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires.
Glossary of field theoryField theory is the branch of mathematics in which fields are studied. This is a glossary of some terms of the subject. (See field theory (physics) for the unrelated field theories in physics.) A field is a commutative ring (F,+,*) in which 0≠1 and every nonzero element has a multiplicative inverse. In a field we thus can perform the operations addition, subtraction, multiplication, and division. The non-zero elements of a field F form an abelian group under multiplication; this group is typically denoted by F×; The ring of polynomials in the variable x with coefficients in F is denoted by F[x].
Produit tensoriel d'algèbresEn mathématique, le produit tensoriel de deux algèbres est une nouvelle algèbre. Soit un anneau commutatif. Soient deux -algèbres (non nécessairement commutatives). Leur structure de -algèbres est donnée par deux morphismes et . On peut les considérer comme des -modules et construire le produit tensoriel . Lorsque et commutent à , c'est-à-dire lorsque pour tout , on a et , on montre qu'il existe une loi de composition interne sur ce produit tensoriel uniquement déterminée par la règle pour tous et .
Extension cyclotomiqueEn théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps Q des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme Q(ζ) où ζ est une racine de l'unité. Ces corps jouent un rôle crucial, d'une part dans la compréhension de certaines équations diophantiennes : par exemple, l'arithmétique (groupe des classes, notamment) de leur anneau des entiers permet de montrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas (voir nombre premier régulier) ; mais aussi, dans la compréhension des extensions algébriques de Q, ce qui peut être considéré comme une version abstraite du problème précédent : le théorème de Kronecker-Weber, par exemple, assure que toute extension abélienne est contenue dans une extension cyclotomique.
