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Concept
Application affine
Résumé
En géométrie, une application affine est une application entre deux espaces affines qui est compatible avec leur structure. Cette notion généralise celle de fonction affine de R dans R (), sous la forme , où est une application linéaire et est un point.
Une bijection affine (qui est un cas particulier de transformation géométrique) envoie les sous-espaces affines, comme les points, les droites ou les plans, sur le même type d'objet géométrique, tout en préservant la notion de parallélisme.
Dans son Introductio in analysin infinitorum de 1748, Leonhard Euler introduit le mot « affinité » dans un sens mathématique, avec une acception différente, lorsqu’il discute les courbes dont les abscisses et les ordonnées respectives sont dans des rapports déterminés, mais pas nécessairement égaux :
Soient E et E deux espaces affines, d'espaces vectoriels associés et . Une application f de E dans E est dite affine si elle vérifie l'une des deux conditions équivalentes suivantes (donc les deux) :
il existe une application linéaire , un point O de E, et un point O de E tels que :
f conserve les barycentres.
Dans la condition 1, étant donnés deux points O et O, l'équation générique reliant les applications f et détermine entièrement chacune en fonction de l'autre, et la linéarité de impose que , c'est-à-dire que f(O) = O. D'après la relation de Chasles, l'application , appelée la partie linéaire de l'application affine f, est alors indépendante du choix de O ; autrement dit :
Si E est de dimension n, f est également déterminée par la donnée de n + 1 points formant un repère affine, et de leurs images.
Des sous-espaces affines parallèles dans E ont pour images des sous-espaces affines parallèles dans E ; autrement dit : les applications affines préservent le parallélisme.
Une application affine d'un espace affine dans lui-même est appelée endomorphisme affine, et un endomorphisme bijectif est appelé un automorphisme, ou plus couramment une transformation affine. Les transformations affines forment un groupe, appelé le groupe affine de E, et noté GA(E).
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