Ramification (mathématiques)

En mathématiques, la ramification est un terme géométrique utilisé au sens de embranchement extérieur, à la façon dont la fonction racine carrée, pour les nombres complexes, peut être vue lorsqu'on considère ses deux branches opposées. Il est aussi utilisé d'une perspective opposée (branches arrivant ensemble) comme lorsqu'un revêtement dégénère en un point de la base, avec effondrement en ce point des fibres de l'application. point de branchement En analyse complexe, le modèle de base peut être pris comme l'application dans le plan complexe, proche de z = 0. Ceci est l'image locale standard dans la théorie des surfaces de Riemann, de ramification d'ordre n. Elle apparaît par exemple dans la formule de Riemann-Hurwitz pour l'effet des applications sur le genre. Dans un revêtemement, la caractéristique d'Euler-Poincaré devrait être multipliée par le nombre de feuilles; la ramification peut par conséquent être détectée par cela. L'application montre ceci comme un motif local : si nous excluons 0, en prenant 0 < |z| < 1, nous avons (à partir du point de vue homotopique) le cercle couvert par lui-même par l'application puissance n-ème (caractéristique Euler-Poincaré 0), mais avec le disque entier, la caractéristique Euler-Poincaré est 1, n-1 étant les points 'perdus' comme les n feuilles se rassemblent au point z = 0. En termes géométriques, la ramification qui se produit en codimension deux (comme la théorie des nœuds et la monodromie); puisque la codimension deux réelle est la codimension un complexe, l'exemple local complexe place le modèle pour les variétés complexes de dimensions plus élevées. En analyse complexe, les feuilles ne peuvent pas se plier le long d'une droite (une variable) ou un sous-espace de codimension un dans le cas général. L'ensemble de ramification (lieu de la branche sur la base, double point placé ci-dessus) seront de deux dimensions plus basses que la variété ambiante, et donc ne se séparera pas en deux 'côtés', localement - il y aura des chemins qui traceront autour du lieu de la branche, juste comme dans l'exemple.