Algèbre de Boole (structure)

vignette|Exemple d'algèbre de Boole : l'ensemble des parties de l'ensemble {x, y, z} illustré par son diagramme de Hasse. En mathématiques, une algèbre de Boole, ou parfois anneau de Boole, est une structure algébrique étudiée en particulier en logique mathématique. Une algèbre de Boole peut être définie soit comme une structure ordonnée particulière, soit comme une structure algébrique particulière, soit comme un anneau (unitaire) dont tout élément égale son carré. Pour tout ensemble, l'ensemble de ses parties est une algèbre de Boole, l'ordre associé étant l'inclusion et les lois d'anneau la différence symétrique et l'intersection. Un autre exemple est donné par l'ensemble des formules du calcul propositionnel prises à équivalence (en logique classique) près (sur un nombre de variables de cardinal arbitraire), l'ordre associé étant la relation de conséquence logique et les lois d'anneau la disjonction exclusive et la conjonction. Une algèbre de Boole est un treillis E avec plus grand et plus petit éléments, dont chacune des deux opérations de borne inférieure et de borne supérieure est distributive par rapport à l'autre, et dont tout élément possède un complément. Autrement dit : (E, ≤) est un ensemble ordonné ; Deux éléments a, b de E ont une borne supérieure, notée dans la suite a ∨ b, et une borne inférieure notée dans la suite a ∧ b (c'est-à-dire que c'est un treillis) ; Il existe un plus petit élément, noté dans la suite 0 (il est souvent noté également ⊥), et un plus grand élément noté dans la suite 1 (il est souvent noté également ⊤) ; L'opération ∧ est distributive sur l'opération ∨, et l'opération ∨ est distributive sur l'opération ∧, c'est-à-dire que pour tous a, b et c de E : a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c), a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ; pour tout élément a de E, il existe un élément a’ de E, appelé complément de E et vérifiant : a ∧ a’ = 0 et a ∨ a’ = 1. Ainsi une algèbre de Boole est un treillis distributif, borné (avec plus petit et plus grand élément), et complémenté.

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