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Concept
Mesure de Haar
Résumé
En mathématiques, une mesure de Haar sur un groupe localement compact est une mesure de Borel quasi-régulière non nulle invariante par translation à gauche. Autrement dit, pour toute partie borélienne B de G, et pour tout g dans G, on a :
L'existence d'une mesure de Haar est assurée dans tout groupe localement compact. Elle est finie sur les parties compactes de G. De plus, toute mesure borélienne complexe invariante par translations à gauche s'écrit où est un nombre complexe. Bien qu'elle ne soit définie qu'à un coefficient multiplicateur près, de nombreux ouvrages parlent, par abus de langage, de la mesure de Haar. Cet usage est justifié pour un groupe compact ou pour un groupe discret, où des normalisations peuvent être effectuées.
Sur un espace euclidien, la mesure de Lebesgue est l'unique mesure invariante par les isométries et valant 1 sur tout cube engendré par les vecteurs d'une base orthonormée. Invariante par translations, la mesure de Lebesgue est donc une mesure de Haar. Sa définition dépend cependant du choix de la structure euclidienne.
Sur un groupe discret, la mesure de comptage est une mesure de Haar.
Sur le groupe multiplicatif (R+*,×), la mesure est une mesure de Haar.
Sur toute variété différentielle orientée M de dimension n, une n-forme différentielle définit une mesure sur M. Un groupe de Lie G est une variété différentielle munie d'une loi de groupe différentiable. Il est connu que G est parallélisable, a fortiori orientable : toute base de l'espace tangent définit par translation à gauche un champ de base invariant à gauche sur G. De fait, toute n-forme sur l'espace tangent définit une unique n-forme différentielle invariante par translation à gauche : la mesure borélienne correspondante est une mesure de Haar sur G.
L'existence d'une mesure de Haar sur un groupe compact peut être déduite du théorème du point fixe de Kakutani.
Comme le groupe G est compact, est finie, et quitte à effectuer une normalisation, il est possible de supposer de probabilité.
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