Quartic reciprocityQuartic or biquadratic reciprocity is a collection of theorems in elementary and algebraic number theory that state conditions under which the congruence x4 ≡ p (mod q) is solvable; the word "reciprocity" comes from the form of some of these theorems, in that they relate the solvability of the congruence x4 ≡ p (mod q) to that of x4 ≡ q (mod p). Euler made the first conjectures about biquadratic reciprocity. Gauss published two monographs on biquadratic reciprocity.
Reflection groupIn group theory and geometry, a reflection group is a discrete group which is generated by a set of reflections of a finite-dimensional Euclidean space. The symmetry group of a regular polytope or of a tiling of the Euclidean space by congruent copies of a regular polytope is necessarily a reflection group. Reflection groups also include Weyl groups and crystallographic Coxeter groups. While the orthogonal group is generated by reflections (by the Cartan–Dieudonné theorem), it is a continuous group (indeed, Lie group), not a discrete group, and is generally considered separately.
Burnside's lemmaBurnside's lemma, sometimes also called Burnside's counting theorem, the Cauchy–Frobenius lemma, the orbit-counting theorem, or the lemma that is not Burnside's, is a result in group theory that is often useful in taking account of symmetry when counting mathematical objects. Its various eponyms are based on William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy, and Ferdinand Georg Frobenius. The result is not due to Burnside himself, who merely quotes it in his book 'On the Theory of Groups of Finite Order', attributing it instead to .
Représentation fidèleEn mathématiques, en particulier en théorie des représentations, une représentation fidèle ρ d'un groupe G sur un espace vectoriel V est une représentation linéaire dans laquelle différents éléments g de G sont représentés par des applications linéaires distinctes . En langage plus abstrait, cela signifie que le morphisme de groupe est injectif (et éventuellement bijectif). Alors que les représentations de G sur un corps K peuvent de facto être identifiés aux modules sur l'algèbre de groupe du groupe G, une représentation fidèle de G n'est pas nécessairement un module fidèle pour le groupe algèbre.
Tarski monster groupIn the area of modern algebra known as group theory, a Tarski monster group, named for Alfred Tarski, is an infinite group G, such that every proper subgroup H of G, other than the identity subgroup, is a cyclic group of order a fixed prime number p. A Tarski monster group is necessarily simple. It was shown by Alexander Yu. Olshanskii in 1979 that Tarski groups exist, and that there is a Tarski p-group for every prime p > 1075. They are a source of counterexamples to conjectures in group theory, most importantly to Burnside's problem and the von Neumann conjecture.
Produit libreEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit libre de deux groupes G et H est un nouveau groupe, noté G∗H, qui contient G et H comme sous-groupes, est engendré par les éléments de ces sous-groupes, et constitue le groupe « le plus général » possédant ces propriétés. Le produit libre est le coproduit, ou « somme », dans la catégorie des groupes, c'est-à-dire que la donnée de deux morphismes, de G et H dans un même groupe K, équivaut à celle d'un morphisme de G∗H dans K.
Groupe de PrüferEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on appelle p-groupe de Prüfer, ou encore groupe p-quasi-cyclique, pour un nombre premier p donné, tout groupe isomorphe au groupe multiplicatif formé par les racines complexes de l'unité dont les ordres sont des puissances de p. C'est donc un p-groupe abélien dénombrable. Les p-groupes de Prüfer étant isomorphes entre eux, on parle volontiers « du » p-groupe de Prüfer, sans en préciser un en particulier.
