Groupe de Klein

En mathématiques, le groupe de Klein est, à isomorphisme près, l'un des deux groupes à quatre éléments, l'autre étant le groupe cyclique ; c'est le plus petit groupe non cyclique. Il porte le nom du mathématicien allemand Felix Klein, qui en 1884 le désignait par « Vierergruppe » (groupe de quatre) dans son « cours sur l'icosaèdre et la résolution des équations du cinquième degré ». Le groupe de Klein est entièrement défini par le fait que les trois éléments différents de l'élément neutre e ont un ordre égal à 2 (ils sont involutifs), et que le produit de deux distincts d'entre eux est égal au troisième. Ses éléments étant notés et sa loi étant notée multiplicativement, sa table s'écrit : On rencontre les notations : ( est l'initiale de Vierergruppe). La table étant symétrique, la loi est commutative : est un groupe abélien. La diagonale de e montre que tout élément est son propre symétrique, ce qui équivaut à l'involutivité. n'est pas un groupe simple, ayant pour sous-groupes distingués . est engendré par deux de ses éléments d'ordre 2, par exemple a et b, les relations minimales étant . Par conséquent tout sous-groupe engendré par deux éléments d'ordre deux qui commutent est isomorphe au groupe de Klein. vignette

1. Comme tout groupe, est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique d'indice le nombre de ses éléments, ici . On peut prendre pour les trois éléments d'ordre 2 les trois produits de deux transpositions disjointes . Le groupe est alors un sous-groupe distingué de . Et ces permutations étant paires, c'est un sous-groupe distingué du groupe alterné ( est le seul cas où n'est pas simple).
2. On peut aussi prendre, comme éléments d'ordre 2, deux transpositions disjointes et leur produit, par exemple . Le groupe n'est cependant pas distingué dans . Ce groupe est le groupe d'automorphismes du graphe ci-contre (par exemple).
3. est isomorphe à , produit direct du groupe cyclique d'ordre 2 par lui-même. 3.a) Prenant comme modèle de le groupe additif , on obtient la table additive : La multiplication dans se transmet à et lui confère une structure d'anneau commutatif d'élément unité .