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Concept
Groupe cyclique
Résumé
En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe cyclique est un groupe qui est à la fois fini et monogène, c'est-à-dire qu'il existe un élément a du groupe tel que tout élément du groupe puisse s'exprimer sous forme d'un multiple de a (en notation additive, ou comme puissance en notation multiplicative) ; cet élément a est appelé générateur du groupe.
Il n'existe, à isomorphisme près, pour tout entier n > 0, qu'un seul groupe cyclique d'ordre n : le groupe quotient Z/nZ — également noté Z ou C — de Z par le sous-groupe des multiples de n.
Les groupes cycliques sont importants en algèbre. On les retrouve, par exemple, en théorie des anneaux et en théorie de Galois.
Les groupes monogènes sont importants pour l'étude des groupes abéliens de type fini : tous sont des produits directs de groupes monogènes (dont certains peuvent être monogènes infinis c'est-à-dire isomorphes à Z). En particulier, les groupes abéliens finis sont classifiés par le théorème de Kronecker. Dans le cas des groupes finis non abéliens, le théorème de Cauchy montre l'existence de nombreux sous-groupes cycliques. Ce théorème est utilisé pour la classification des groupes finis, même si souvent, certaines formes plus élaborées sont utilisées comme les trois théorèmes de Sylow.
arithmétique modulaire
En arithmétique ces groupes offrent un large répertoire d'outils et permettent de nombreuses démonstrations. Ces outils sont regroupés dans une branche des mathématiques nommée arithmétique modulaire. Ils se fondent sur l'étude des congruences sur l'anneau des entiers. On peut citer comme exemple le petit théorème de Fermat ou encore le théorème des deux carrés de Fermat avec la démonstration de Richard Dedekind. On peut encore citer la loi de réciprocité quadratique qui repose sur des structures de groupes cycliques. Il existe de nombreux cas où le groupe sous-jacent est non monogène, mais seulement abélien de type fini, ce qui s'y ramène par produit. On le trouve par exemple dans le théorème de la progression arithmétique ou le théorème des unités de Dirichlet.
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